[math]1973年東京大学理系数学問題2

問題

\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)はおのおの\(0, 1, 2\)のどれかの値をとる。$$f_1 = \sum_{i=1}^{n}{}x_i, f_2 = \sum_{i=1}^{n}{{x_i}^2}$$のとき、$$f_k = \sum_{i=1}^{n}{{x_i}^k} (k=1, 2, 3, \cdots)$$を\(f_1\)と\(f_2\)を用いて表わせ。

方針

\(1\)の個数、\(2\)の個数を知りたい。

解答

\(x_i\)のうち、\(1\)の個数を\(a\)個、\(2\)の個数を\(b\)個とする。すると、$$f_1 = a+2b$$ $$f_2 = a+4b$$である。これを\(a, b\)について解くと、$$a = 2f_1-f_2$$ $$b = \frac{f_2-f_1}{2}$$となる。したがって、$$f_k = a+2^k b =$$

\((2f_1-f_2)+2^{k-1}(f_2-f_1)\)

である。これは\(k=1, 2\)のときも成り立つ。

解説

自分で\(1, 2\)の個数を設定するところが難しいと感じる人もいるかも知れない。

関連問題

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