[math]1999年京都大学理系後期数学問題3

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2022.05.202021.11.19

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問題

$\alpha$を正の定数として、数列$a_n, b_n (n\geq 1)$を次の式で定める。$$2a_{n+1} = \alpha(3{a_n}^2 + 2a_nb_n-{b_n}^2-a_n+b_n)$$ $$2b_{n+1} = \alpha(-{a_n}^2-2a_nb_n-{b_n}^2-a_n+b_n)$$ $$a_1 = b_1 = 1$$
$(1)$ $a_2, b_2, a_3, b_3, a_4, b_4$を求めよ。
$(2)$ $\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}$を求めよ。

方針

漸化式を解こうなどと考えてはいけない。

解答

$(1)$ 与えられた漸化式を用いて計算すると、$a_2 = 2\alpha, b_2 = -2\alpha$となる。同様に、順次$a_3 = -2{\alpha}^2, b_3 = -2{\alpha}^2, a_4 = 8{\alpha}^5, b_4 = -8{\alpha}^5$となる。

$(2)$ $(1)$から$a_{2n} = -b_{2n}, a_{2n+1} = b_{2n+1}$が予想される。これは$n = 1$で成り立ち、$n = k$で成立を仮定すると、与えられた漸化式より$$a_{2k+2} = 2\alpha {a_{2k+1}}^2$$ $$b_{2k+2} = -2\alpha{a_{2k+1}}^2$$となり、さらに$$a_{2k+3} = -\alpha a_{2k+2}, b_{2k+3} = -\alpha a_{2k+2}$$となるから、$n = k+1$でも成り立つ。以上の過程から$\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}} = -\alpha$である。

解説

漸化式は解けないので、問題の流れ通り、推測して帰納法という流れになる。$(1)$で計算ミスをしてしまうと、$(2)$も解けなくなるので、試験場では気をつけたい。ミスを防ぐコツは、計算過程を丁寧に残すことである。$(2)$では何を仮定し、帰納法を用いるかは意外に難しい。$a_n$と$b_n$の関係を考えるとすっきりする。