[math]1994年後期東京工業大学数学問題2

問題

自然数$n=1,2,3,\cdots$に対して、$(2-\sqrt{3}{)}^n$という形の数を考える。これらの数はいずれも、それぞれ適当な自然数$m$が存在して$\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$という表示をもつことを示せ。

方針

難問である。$$2-\sqrt{3}=\sqrt{2^2}-\sqrt{2^2-1}$$ $$(2-\sqrt{3}{)}^2=7-4\sqrt{3}=\sqrt{7^2}-\sqrt{7^2-1}$$ $$(2-\sqrt{3}{)}^3=\cdots$$などとすると、問題文の$m={a_n}^2$であることが予想される。これがわかっても、直接帰納法で示すのは難しい。関係式として${a_n}^2-3{b_n}^2=1$を持ってくる必要がある。

解答

$(2-\sqrt{3}{)}^n=a_n-b_n\sqrt{3}$と置く。$a_1=2,b_1=1$である。$$a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt{3}=(a_n-b_n\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$$ $$=2a_n+3b_n-(a_n+2b_n)\sqrt{3}$$より、$$a_{n+1}=2a_n+3b_n,b_{n+1}=a_n+2b_n$$である。これから、帰納的に$a_n,b_n$は整数になる。

今、$$(2+\sqrt{3}{)}^n=a_n+b_n\sqrt{3}$$であることを示す。$n=1$の時に正しく、ある$n$で正しいとすると、$$(2+\sqrt{3}{)}^{n+1}=(a_n+b_n\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$$ $$=(2a_n+3b_n)+(a_n+2b_n)\sqrt{3}$$ $$=a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3}$$であるから、$n+1$の時も正しい。以上から、$$(a_n+b_n\sqrt{3})(a_n-b_n\sqrt{3})=(2+\sqrt{3}{)}^n(2-\sqrt{3}{)}^n$$であるから、両辺を計算して、$${a_n}^2-3{b_n}^2=1$$となる。これを使うと、$$(2-\sqrt{3}{)}^n=a_n-b_n\sqrt{3}$$ $$=\sqrt{{a_n}^2}–\sqrt{3{b_n}^2}$$ $$=\sqrt{{a_n}^2}-\sqrt{{a_n}^2-1}$$となり、確かに題意が成り立つ。

解説

帰納法でも${a_n}^2-3{b_n}^2=1$を示すことが出来るが、解答では「相棒」である$$(2+\sqrt{3}{)}^n=a_n+b_n\sqrt{3}$$を持ち出している。このタイプの問題は，見たことがないと非常に難しいが、一回でも経験すると上のやり方で面白いように解けるようになる。そういう意味で、知識をもっているのは悪いことではない、という見本のような問題である。