問題
\(x\)が\(0\leq x\leq 3\)という範囲を動くときの、関数\(f(x) = 2x^2-4ax+a+a^2\)の最小値\(m\)が\(0\)になるような、定数\(a\)の値をすべて求めよ。
方針
一般的な話になるが、場合分けをするときは初めから細かく条件を絞るのではなく、おおまかに候補となるものを挙げていき、「どういう時にその値をとるのか」と考えた方がミスが少なくなる。
解答
\(f(x) = 2(x-a)^2-a^2+a\)であるから、\(m\)の候補は$$f(0) = a^2+a (a\leq 0)$$ $$f(a) = -a^2+a (0\leq a\leq 3)$$ $$f(3) = (a-9)(a-2) (a\geq 3)$$となる。範囲に注意して、\(m=0\)となる\(a\)の値を求めると、\(a = -1, 0, 1, 9\)となる。
解説
最小値となりうるのは\(f(0), f(a), (3)\)のいずれかであるから、それをあげてから、条件を絞っていく。易しい問題では当たり前に感じるが、少し複雑な問題になると場合分けで漏れが生じることが多くなるので、気に留めておくといい。
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