[math]1978年京都大学文理共通数学問題1

問題

$a,b,c$を正の数とするとき、不等式$$2(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab})\le 3(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc})$$を証明せよ。また、等号が成立するのはどんな場合か。

方針

素直に計算するが、背景のある問題である。

解答

（右辺）$-$（左辺）を考えると、$c-3\sqrt[3]{abc}+2\sqrt{ab}$であるから、$\sqrt[3]{c}=t(\ge 0)$とおく。これは$t^3-\sqrt[3]{ab}t+2\sqrt{ab}$となり、$f(t)$とする。$$f^{\prime }(t)=3t^2-\sqrt[3]{ab}$$となり、$f(t)$は$t=\sqrt[6]{ab}$のときに最小になる。$$f(\sqrt[6]{ab})=\sqrt{ab}-3\sqrt[3]{ab}\sqrt[6]{ab}+2\sqrt{ab}=0$$となり、与えられた不等式が成立する。また、等号は$\sqrt[3]{c}=\sqrt[6]{ab}$、つまり$c^2=ab$のときに成立する。

解説

実は$$2(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab})\le 3(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc})\le 4(\frac{a+b+c+d}{4}-\sqrt[4]{abcd})\le \cdots$$が成立する。$2(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab})$は正なので、各括弧の中身、相加平均引く相乗平均が正であることがわかる。このことを示すには$$n(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}-\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n})\le (n+1)(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_{n+1}}{n+1}-\sqrt[n+1]{a_1{a}_2\cdots a_{n+1}})$$を示すことになるが、微分法で簡単に解くことが出来る。