[math]1991年東京大学理系数学問題4

math

2021.12.09

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問題

$(1)$ 自然数$n = 1, 2, 3, \cdots$に対して、ある多項式$p_n(x), q_n(x)$が存在して、$$\sin{n\theta} = p_n(\tan{\theta})\cos^n{\theta}, \cos{n\theta} = q_n(\tan{\theta})\cos^n{\theta}$$と書けることを示せ。
$(2)$ この時、$n > 1$ならば次の等号が成立することを証明せよ。$$p_{n}^{\prime}(x) = nq_{n-1}(x), q_{n}^{\prime}(x) = -np_{n-1}(x)$$

方針

$(1)$はもちろん帰納法を用いる。$(2)$では複素数を用いるとすっきりと解答が書ける。

解答

$(1)$ 帰納法で示す。$n = 1$の時$\sin{\theta} = \tan{\theta}\cos{\theta}$および、$\cos{\theta} = 1\cdot\cos{\theta}$だから$p_1(x) = x, q_1(x) = 1$とすれば良い。$n = 2$の時$$\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$$ $$ = 2\tan{\theta}\cos^2{\theta}$$だから、$p_2(x) = 2x$とすれば良く、また$$\cos{2\theta} = \cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}$$ $$ = \left(1-\tan^2{\theta}\right)\cos^2{\theta}$$だから、$q_2(x) = 1-x^2$とすれば良い。$n = k-1, k$の時題意のような$p_n(x), q_n(x)$が存在すると仮定する。$$\begin{cases}\sin{(n+1)\theta} = \sin{n\theta}\cos{\theta}+\cos{n\theta}\sin{\theta} \\ \cos{(n+1)\theta} = \cos{n\theta}\cos{\theta}-\sin{n\theta}\sin{\theta}\end{cases}$$であるから、$$\sin{(n+1)\theta} = p_n(\tan{\theta})\cos^{n+1}{\theta}+q_n(\tan{\theta})\cos^n{\theta}\sin{\theta}$$ $$ = \{p_n(\tan{\theta}) + \tan{\theta}q_n(\tan{\theta})\}\cos^{n+1}{\theta}$$となるから、$p_{n+1}(x) = p_n(x) + xq_n(x)$とすれば良い。また、$$\cos{(n+1)\theta} = q_n(\tan{\theta})\cos^{n+1}{\theta}-p_n(\tan{\theta})\cos^n{\theta}\sin{\theta}$$ $$ = \{q_n(\tan{\theta}) – \tan{\theta}p_n(\tan{\theta})\}\cos^{n+1}{\theta}$$となるから、$q_{n+1}(x) = q_n(x) – xp_n(x)$とすれば良い。

$(2)$ $(1)$から$\sqrt{-1} = i$として、$$\cos{n\theta} + i\sin{n\theta} = \cos^n{\theta}\{q_n(\tan{\theta}) + ip_n(\tan{\theta})\}$$となる。左辺は$(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n$と等しいので、両辺を$\cos^n{\theta}$で割って、$$(1+i\tan{\theta})^n = q_n(\tan{\theta}) + ip_n(\tan{\theta})$$が成立する。すべての実数$\theta$についてこの式が成立するので、$$(1+ix)^n = q_n(x) + ip_n(x)$$である。この式の両辺を$x$で微分して、$$ni(1+ix)^{n-1} = q_n^{\prime}(x) + ip_{n}^{\prime}(x)$$である。しかるに$(1+ix)^{n-1} = q_{n-1}(x) + p_{n-1}(x)$であるから、$$ni\{q_{n-1}(x) + ip_{n-1}(x)\} = q_n^{\prime}(x) + ip_{n}^{\prime}(x)$$である。両辺を比較して、$p_n^{\prime}(x) = nq_{n-1}(x)$および$q_n^{\prime}(x) = -np_{n-1}(x)$を得る。