問題
\(k\)は\(0\)または正の整数とする。方程式\(x^2-y^2 = k\)の解\((a, b)\)で、\(a, b\)がともに奇数であるものを奇数解とよぶ。
\((1)\)方程式\(x^2-y^2=k\)が奇数解をもてば、\(k\)は\(8\)の倍数であることを示せ。
\((2)\)方程式\(x^2-y^2=k\)が奇数解をもつための必要十分条件を求めよ。
方針
\((1)\)は具体的に\(a = 2p+1\)などと置く。\((2)\)は\((1)\)の利用を考える。
解答
\((1)\) 方程式\(x^2-y^2=k\)が奇数解をもつとき、\(p, q\)を整数として、\(x = 2p+1, y = 2q+1\)と置ける。これを代入して、$$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$$ $$ = (2p+1+2q+1)(2p+1-2q-1)$$ $$ = 4(p+q+1)(p-q)$$となる。\((p+q+1)+(p-q) = 2p+1\)は奇数だから、\(p+q+1\)と\(p-q\)の奇偶は異なる。すなわち、どちらか一つは偶数である。よって、\(4(p+q+1)(p-q)\)は\(8\)の倍数になる。
\((2)\) 逆に\(k\)が\(8\)の倍数のとき、\(\frac{k}{8}\)は整数で、これを\(k^{\prime}\)とすると、\((x, y) = (2k^{\prime}+1, 2k^{\prime}-1)\)は$$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$$ $$= (2k^{\prime}+1+2k^{\prime}-1)(2k^{\prime}+1-2k^{\prime}+1)$$ $$ = 8k^{\prime}$$ $$ = k$$となり、方程式\(x^2-y^2=k\)の解である。よって、求める必要十分は\(k\)が\(8\)の倍数であること、である。
解説
奇数と偶数という言葉は小学校のときから用いているが、これは\(2\)を法とした剰余類で、整数\(a\)に対して\(a\equiv 0 \pmod 2\)のとき\(a\)を偶数といい、\(a \equiv1 \pmod2\)のとき奇数と呼んでいる。細かいことだが、\((1)\)も\((2)\)も無闇に展開せずに、\(x^2-y^2 = (x+y)(x-y)\)という基本公式を用いて計算を省略している。
\((2)\)は、慣れていないと少し難しいのかも知れないが、\((1)\)を有効なヒントとしてまず\(k\)が\(8\)の倍数であるときから考えてみる。十分条件は、ひとつ具体的に解を求めれば良いという発想がないと厳しい。一般に必要条件と十分条件では、必要条件の方が簡単に求まる。ここら辺は整数問題を考えるときに比較的重要なポイントになる。
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