[math]1992年京都大学後期文系問題1

問題

$k$は$0$または正の整数とする。方程式$x^2-y^2=k$の解$(a,b)$で、$a,b$がともに奇数であるものを奇数解とよぶ。
$(1)$方程式$x^2-y^2=k$が奇数解をもてば、$k$は$8$の倍数であることを示せ。
$(2)$方程式$x^2-y^2=k$が奇数解をもつための必要十分条件を求めよ。

方針

$(1)$は具体的に$a=2p+1$などと置く。$(2)$は$(1)$の利用を考える。

解答

$(1)$ 方程式$x^2-y^2=k$が奇数解をもつとき、$p,q$を整数として、$x=2p+1,y=2q+1$と置ける。これを代入して、$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$ $$=(2p+1+2q+1)(2p+1-2q-1)$$ $$=4(p+q+1)(p-q)$$となる。$(p+q+1)+(p-q)=2p+1$は奇数だから、$p+q+1$と$p-q$の奇偶は異なる。すなわち、どちらか一つは偶数である。よって、$4(p+q+1)(p-q)$は$8$の倍数になる。

$(2)$ 逆に$k$が$8$の倍数のとき、$\frac{k}{8}$は整数で、これを$k^{\prime }$とすると、$(x,y)=(2k^{\prime }+1,2k^{\prime }-1)$は$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$$ $$=(2k^{\prime }+1+2k^{\prime }-1)(2k^{\prime }+1-2k^{\prime }+1)$$ $$=8k^{\prime }$$ $$=k$$となり、方程式$x^2-y^2=k$の解である。よって、求める必要十分は$k$が$8$の倍数であること、である。

解説

奇数と偶数という言葉は小学校のときから用いているが、これは$2$を法とした剰余類で、整数$a$に対して$a\equiv 0(\mathrm{mod}2)$のとき$a$を偶数といい、$a\equiv 1(\mathrm{mod}2)$のとき奇数と呼んでいる。細かいことだが、$(1)$も$(2)$も無闇に展開せずに、$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$という基本公式を用いて計算を省略している。

$(2)$は、慣れていないと少し難しいのかも知れないが、$(1)$を有効なヒントとしてまず$k$が$8$の倍数であるときから考えてみる。十分条件は、ひとつ具体的に解を求めれば良いという発想がないと厳しい。一般に必要条件と十分条件では、必要条件の方が簡単に求まる。ここら辺は整数問題を考えるときに比較的重要なポイントになる。