[math]1990年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

多項式の列$f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x), \cdots$を次のように定める。$$\begin{eqnarray} f_1(x) & = & x + 2 \\ f_n(x) & = &(x+1)f_{n-1}(x) + x^n-(n-1)x+n-1 (n\geq 2)\end{eqnarray}$$また、$f_n(x)$の$x^k$の係数を$a_{n, k}$とおく$(k = 0, 1, \cdots)$。
$(1)$ $f_2(x), f_3(x)$を求めよ。
$(2)$ $a_{n, 0}$を求めよ。
$(3)$ $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}{a_{n, k}}}$を求めよ。
$(4)$ $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}{ka_{n, k}}}$を求めよ。

方針

帰納法や式変形だけでも解けないことはないが、多項式を持ち出してくれているので最大限利用し、$x$に$0, 1$など適当な数値を代入すると楽に解くことができる。多項式とくれば微分積分、とピンとくるようになると応用が広がる。$(4)$を普通に解こうとするとなかなか煩わしいが、微分して$x=1$を代入するとすぐに漸化式を得ることができる。

解答

$(1)$ $f_1(x) = x+2$であるから、$$\begin{eqnarray}f_3(x) & = & (x+1)(x+2) + x^2-x+1 \\ & = & 2x^2+2x+3 \end{eqnarray}$$であり、これを使って、$$\begin{eqnarray} f_3(x) & = & (x+1)(2x^2+2x+3) + x^3-2x+2 \\ & = & 3x^3 + 4x^2 + 3x + 5\end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ $f_n(x) = (x+1)f_{n-1}(x) + x^n-(n-1)x + n-1$で$x = 0$として、$$a_{n, 0} = a_{n-1, 0}+n-1 (n\geq 2)$$である。これは階差数列で、$a_{1, 0} = 2$だから、$$\begin{eqnarray} a_{n, 0} & = & a_{1, 0} + \sum_{k=2}^{n}{(k-1)}\\ & = & 2 + \frac{(n-1)n}{2} \\ & = & \frac{n^2-n+4}{2} \end{eqnarray}$$となる。これは$n = 1$でも成立する。

$(3)$ 簡単のため、$\displaystyle{S_n = \sum_{k=0}^{n}{a_{n, k}}}$とする。$f_n(x) = (x+1)f_{n-1}(x) + x^n-(n-1)x + n-1$で$x = 1$として、$S_n = 2S_{n-1} + 1 (n\geq 2)$となる。変形して、$S_{n}+1 = 2(S_{n-1} + 1)$である。また、$S_1 = a_{1, 0} + a_{1, 1} = 3$であるから、$S_{n} + 1 = 2^{n-1}(S_1+1) = 2^{n+1}$となる。これから、$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}{a_{n, k}} = 2^{n+1}-1}$となる。これは$n = 1$でも成立する。

$(4)$ 簡単のため、$\displaystyle{T_n = \sum_{k=1}^{n}{ka_{n, k}}}$とする。$f_n(x) = (x+1)f_{n-1}(x) + x^n-(n-1)x + n-1$の両辺を$x$で微分して、$$f_{n}^{\prime}(x) = (x+1)f_{n-1}^{\prime} + f_{n-1}(x) + nx^{n-1}-(n-1)$$である。$f_{n}^{\prime}(1) = T_n$だから、上の式で$x = 1$として、$$T_n = 2T_{n-1} + S_{n-1}+1 (n\geq 2)$$である。$(3)$の結果を代入して、$$T_{n} = 2T_{n-1} + 2^{n}$$である。両辺を$2^{n}$で割って、$$\frac{T_n}{2^n} = \frac{T_{n-1}}{2^{n-1}} + 1$$である。また、$\frac{T_n}{2} = \frac{a_{1, 1}}{2} = \frac{1}{2}$である。したがって、$$\begin{eqnarray}\frac{T_n}{2^n} & = & \sum_{k=1}^{n-1}{(1)} + \frac{T_1}{2} \\ & = & n-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$$である。以上より、$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}{ka_{n, k}} = 2^n\left(n-\frac{1}{2}\right)}$である。これは$n = 1$でも成立する。