[math]1997年京都大学後期数学過去問問題2

問題

自然数$n$と$n$項数列$a_k(1\le k\le n)$が与えられていて、次の条件（イ）、（ロ）を満たしている。
（イ）$a_k(1\le k\le n)$はすべて正整数で、すべて$1$と$2n$の間にある。$$1\le a_k\le 2n$$
（ロ）${\displaystyle s_j=\sum _{k=1}^j{a}_k}$とおくとき、$s_j(1\le j\le n)$はすべて平方数である（整数の二乗である数を平方数という）。このとき、
$(1)$ $s_n=n^2$であることを示せ。
$(2)$ $a_k(1\le k\le n)$を求めよ。

方針

ここで$n$は変数ではなく、与えられた定数であることに注意する。

解答

$(1)$ $n=1$のとき、条件（イ）から$1\le a_1\le 2$で、条件（ロ）から$s_1=a_1$が平方数だから、$a_1=1$である。よって、$s_1=1^2$で、題意が成り立つ。$n>1$の時を考える。$a_k(1\le k\le n)$は正整数であるから、$$s_1<s_2<\cdots <s_n$$である。$s_j(1\le j\le n)$はすべて平方数であるから、$n^2\le s_n$である。すなわち、$s_n=m^2$としたとき、$n\le m$である。また、$s_{n-1}\le (m-1{)}^2$となる。したがって、$$\begin{array}{rcl}{a}_n& =& s_n-s_{n-1}\\ & =\ge & m^2-(m-1{)}^2\\ & =& 2m-1\end{array}$$となる。一方、条件（イ）から$a_n\le 2n$であるから、$2m-1\le 2n$である。以上、$n\le m$かつ$2m-1\le n$であるから、$n=m$である。よって、$s_n=n^2$である。

$(2)$ $n=1$の時は$a_n=1$となる。$n>1$のとき、$(1)$の過程から$s_1=1^2,s_2=2^2,\cdots ,s_n=n^2$がわかる。したがって$a_1=1$ $$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& s_k-s_{k-1}\\ & =& k^2-(k-1{)}^2\\ & =& 2k-1(n\ge 2)\end{array}$$となる。これは$k=1$でも成立する。

解説

意外な難問で、解けたと思って見直してみると思わぬ間違いをしてしまっていた、という嫌なタイプの問題。$(2)$で$n=1$のときは$s_{n-1}$を定義できないので、分けて考える。