[math]2000年京都大学後期理系数学問題3

math

2021.12.17

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問題

$x, y$平面上の点で$x$座標、$y$座標がともに整数である点を格子点という。$a, k$は整数で$a\geq 2$とし、直線$L: ax + (a^2+1)y = k$を考える。
$(1)$ 直線$L$上の格子点を一つ求めよ。
$(2)$ $k =a(a^2+1)$のとき、$x > 0, y > 0$の領域に直線$L$上の格子点は存在しないことを示せ。
$(3)$ $k > a(a^2+1)$ならば、$x > 0, y > 0$の領域に直線$L$上の格子点が存在することを示せ。

方針

$a$と$b$が互いに素であるとき、$ax + by = 1$を満たす整数$x, y$が存在するという有名事実をもとにした問題である。

解答

$(1)$ $x = -ak, y = k$のとき、$ax + (a^2+1)y = -a^2k+(a^2+1)k = k$であるから、$(x, y) = (-ak, k)$は$L$上の格子点である。さて、$$\begin{cases}ax + (a^2+1)y = k \\ a\cdot(-ak) + (a^2+1)\cdot k = k\end{cases}$$と書いて辺ごとに差を作ると、$$a(x + ak) + (a^2+1)(y-k) = 0$$である。$a, a^2+1$は互いに素であるから、$x+ak = (a^2+1)l$と置ける。ただし$l$は整数である。これを上の式に代入すると、$y-k = -al$となる。以上から、$(x, y) = \{(a^2+1)l-ak, -al+k \}$が直線$L$上の格子点を一般的に表したものである。$x > 0, y > 0$のとき、$$\begin{cases}(a^2+1)l-ak>0 \\ -al + k > 0\end{cases}$$を$l$について解くと、$$\frac{ak}{a^2+1} < l < \frac{k}{a} \tag{a}$$となる。これを満たすような整数$l$が存在するとき、直線$L$上の$x > 0, y > 0$の領域に格子点が存在することがわかる。

$(2)$ $k = a(a^2+1)$を$(a)$式に代入すると、$a^2 < l < a^2+1$となる。この式を満たす整数$l$はそ存在しない。つまり、$k = a(a^2+1)$のとき第一象限で$L$上の格子点は存在しない。

$(3)$ $k > a(a^2+1)$のとき、$(a)$式の右辺$-$左辺を作ると、$$\begin{eqnarray}\frac{k}{a}-\frac{ak}{a^2+1} & = & k\left(\frac{1}{a}-\frac{a}{a^2+1}\right) \\ & = & k\left(\frac{1}{a(a^2+1)}\right) \\ & > & a(a^2+1)\cdot \frac{1}{a(a^2+1)} \\ & = & 1 \end{eqnarray}$$であるから、式$(a)$を満たす整数$l$が存在する。つまり、$k > a(a^2+1)$のとき第一象限で$L$上の格子点が存在する。

解説

$a^2+1 =a\times a + 1$なので、$a$のどんな約数に対しても$a^2+1$は割り切れない。つまり、$a, a^2+1$は互いに素である。$(1)$は親切な設問で、まず特殊な解を見つけてから一般的な解を見つけるための誘導となっている。$(1)$が解けて上の解答のように一般解を求めることが出来れば、$(2), (3)$はおまけの問題になる。$(3)$で、$a < x < b$で$b-a > 1$の時にこの式を満たす整数$x$が存在するというのはある意味当たり前である。この問題の前提にあるのが、$a$と$b$が互いに素であるとき、$ax + by = 1$を満たす整数$x, y$が存在するという事実であり、これはやはり知らないといけないのだろう。