[math]1989年京都大学理系数学問題2

問題

$n$個$(n\ge 3)$の実数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$があり、各$a_i$は他の$n-1$個の相加平均より大きくはないという。このような$a_1,a_2,\cdots ,a_n$の組をすべて求めよ。

方針

与えられた条件を立式してみる。

解答

${\displaystyle S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k}$とすると、条件から任意の$j(1\le j\le n)$に対して、$$\begin{array}{}\text{(a)}& a_j\le \frac{S_n-a_j}{n-1}\end{array}$$が成り立つ。式$(a)$で$j=1,2,\cdots ,n$としたものを足すと、$$S_n\le \frac{n{S}_n}{n-1}-\frac{S_n}{n-1}$$が成り立つ。すなわち、$S_n\le S_n$である。ここで、式$(a)$の等号はすべての$j(1\le j\le n)$で成立する。そうでないと、$S_n<S_n$となり矛盾である。すなわち、${\displaystyle a_j=\frac{S_n-a_j}{n-1}}$であり、${\displaystyle a_j=\frac{S_n}{n}}$となるから、求める$a_1,a_2,\cdots ,a_n$の組は$a_1=a_2=\cdots =a_n$である。

解説

５分もかからずにあっさり解ける人と、手も足も出なかった、という人に分かれる問題ではないだろうか。結論にギョッとした人も少なくなかっただろう。

関連問題

1978年京都大学文理共通数学問題1 相加平均、相乗平均の不等式