[math]2021年京都大学理系数学問題2

math

2021.12.24

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問題

曲線$y=\frac{1}{2}(x^2+1)$上の点$P$における接線は$x$軸と交わるとし、その交点を$Q$とおく。線分$PQ$の長さを$L$とするとき、$L$が取りうる値の最小値を求めよ。

方針

標準的な設問であり、自力で完答したい。

解答

点$P$の座標を$\left(p,\ \frac{1}{2}(p^2+1)\right)$としよう。与えられた曲線は$y$軸に関して対象なので、対称性から$p \geq 0$として良い。$y = \frac{1}{2}(x^2+1)$の時$y^{\prime} = x$であるから、点$P$における接線は$$\begin{eqnarray}y & = & p(x-p) + \frac{1}{2}(p^2+1)\\ & = & px-\frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}\end{eqnarray}$$である。$y = 0$とすると、$px = \frac{p^2-1}{2}$である。このような$x$が存在するので、$p \ne 0$で、点$Q$の$x$座標は$x = \frac{p^2-1}{2p}$となる。線分$PQ$の長さは$$\begin{eqnarray} PQ & = & \sqrt{\left(p-\frac{p^2-1}{2p}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}(p^2+1)\right)^2} \\ & = & \sqrt{\left(\frac{p^2+1}{2p}\right)^2+\left(\frac{1}{2}(p^2+1)\right)^2} \\ & = & \frac{(p^2+1)^{\frac{3}{2}}}{2p} \end{eqnarray}$$である。$\displaystyle f(p) = \frac{(p^2+1)^\frac{3}{2}}{2p}\ (p > 0)$と置く。$$\begin{eqnarray} f^{\prime}(p) & = & \frac{\frac{3}{2}(p^2+1)^{\frac{1}{2}}\cdot 2p\cdot p – (p^2+1)^{\frac{3}{2}}\cdot 1}{2p^2} \\ & = & \frac{(p^2+1)^\frac{1}{2}}{2p^2}\left(3p^2-(p^2+1)\right) \\
& = & \frac{\sqrt{p^2+1}}{2p^2}(2p^2-1)\end{eqnarray}$$これから、次の増減表が書ける。$$\begin{array}{|c|*4{c|}}\hline x & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots \\ \hline f^{\prime}(p) & & – & 0 & + \\ \hline f(p) & & \searrow & & \nearrow \\ \hline \end{array}$$以上より$f(p)$は$p = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$の時に最小値$\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =$ $\displaystyle \underline{\frac{3\sqrt{3}}{4}}$を取る。

解説

与えられた曲線は$y$軸に関して対象なので、対称性から最初から$p > 0$として良い。一般に$y = \frac{g(x)}{f(x)}\ (f(x)\ne 0)$の微分は$$\begin{eqnarray}\frac{g^{\prime}(x)f(x)-g(x)f^{\prime}(x)}{{f(x)}^2}\end{eqnarray}$$となる。これは、$\log{y} = \log{g(x)}-\log{f(x)}$を考えて、微分すると、$$\begin{eqnarray}\frac{y^{\prime}}{y} = \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} -\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\end{eqnarray}$$となるので、$$\begin{eqnarray} y^{\prime} & = & \frac{g(x)}{f(x)}\left(\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}-\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\right) \\ & = & \frac{g^{\prime}(x)}{f(x)} -\frac{g(x)f^{\prime}(x)}{{f(x)}^2} \\ & = & \frac{g^{\prime}(x)f(x)-g(x)f^{\prime}(x)}{{f(x)}^2} \end{eqnarray}$$となるわけである。覚えておけばよいのは$\log{y}$の微分が$\frac{y^{\prime}}{y}$になることだけである。