[math]2001年度防衛医科大学校数学問題2

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2021.12.26

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問題

$x \geq 1$で定義されている関数$f(x)$は連続な導関数$f^{\prime}(x)$をもち、次の条件を満たしている。$$f(1) \leq f^{\prime}(x)\leq \frac{f(x)}{x} \ (x \geq 1)$$また、$\displaystyle F(x) = f(1) + \int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{t}dt}$とおく。このとき以下の問に答えよ。
$(1)$ $\displaystyle f(x)x \leq f(x)\leq F(x) \ (x\geq 1)$を示せ。
$(2)$ $x\geq 1$における$\displaystyle \frac{F(x)}{x}$の最大値を求めよ。
$(3)$ $f(x)$を$f(1)$と$x$を用いて表わせ。

方針

誘導に丁寧に従えば良い。

解答

$(1)$ 与えられた不等式で$x$を$t$とおいた$$f(1)\leq f^{\prime}(t)\leq \frac{f(t)}{t} \ (t\geq 1)$$を$1$から$x \ (x\geq 1)$で積分して、$$f(1)x-f(1)\leq f(x)-f(1)\leq \int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{t}dt}$$となる。各辺に$f(1)$を足して、題意の不等式を得る。

$(2)$ $\displaystyle g(x) = \frac{F(x)}{x} \ (x\geq 1)$とすると、$$\begin{eqnarray}g^{\prime}(x) & = & \frac{F^{\prime}(x)x-F(x)}{x^2} \\ & = & \frac{\{f(x)/x\}x-F(x)}{x^2} \\ & = & \frac{f(x)-F(x)}{x^2} \\ & \leq & 0\ ((1)から)\end{eqnarray}$$となる。これから、$g(x)$は減少関数であるから、$x=1$で最大値をとる。よって、$\displaystyle \frac{F(x)}{x}$の最大値は$\displaystyle \frac{F(1)}{1} = \underline{f(1)}$である。

$(3)$ $(1)$から$f(1)x\leq f(x)\leq F(x)$であり、$(2)$から$F(x)\leq f(1)x$であるから、$f(1)x\leq f(x)\leq f(1)x$となる。これより、$\underline{f(x) = f(1)x}$である。