[math]2002年度前期京都大学文系数学問題1

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2021.12.27

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問題

数列 ${a_{n}}$ の初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ と表す。この数列が、 $a_{1} = 0, a_{2} = 1, (n - 1)^{2} a_{n} = S_{n} (n \geq 1)$ を満たすとき、一般項 $a_{n}$ を求めよ。

方針

数列の和を考えるとき、最も基本的な事実は、 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ が成り立つことである。

解答

$\begin{matrix} (a) & (n - 1)^{2} a_{n} = S_{n} (n \geq 1) \end{matrix}$ より、 $\begin{matrix} (b) & n^{2} a_{n + 1} = S_{n + 1} (n \geq 1) \end{matrix}$ である。式 $(b) - (a)$ を作り、 $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ に注意すると、 $n^{2} a_{n + 1} - (n - 1)^{2} a_{n} = a_{n + 1} (n \geq 1)$ となる。整理して、 $(n - 1) (n + 1) a_{n + 1} = (n - 1)^{2} a_{n}$ である。 $n > 1$ のとき両辺を $n - 1$ で割って、さらに $n$ を掛けると、 $(n + 1) n a_{n + 1} = n (n - 1) a_{n}$ となる。よって、数列 ${n (n - 1) a_{n}}$ は定数列で、 $n (n - 1) a_{n} = 2 \cdot (2 - 1) \cdot a_{2} = 2$ である。よって、 $\underset{―}{a_{n} = \frac{2}{n (n - 1)} (n \geq 2)}$ となる。また、 $a_{1} = 0$ である。

解説

$S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ は $S_{0} = 0$ とすれば、 $n = 1$ の時にも成立する。一般に、数列の問題を解く時は、添字が $0$ になるときは十分に注意する必要がある。

この問題は京大としては穏やかな方である。解答のように定数列の形を作るのが簡単だと思うが、予想して帰納法という流れでも良い。 $a_{1}$ だけは別に記述しなくてはいけない。

同じ年に理系では下のような問題が出題された。多少難しいが、やることはほとんど同じである。理系の人は自分で解答を作ってみると良い。解答のみを記載する。

理系の問題（問題1）

数列 ${a_{n}}$ の初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ と表す。この数列が、 $a_{1} = 0, lim_{n \to \infty} S_{n} = 1, n (n - 2) a_{n + 2} = S_{n} (n \geq 1)$ を満たすとき、一般項 $a_{n}$ を求めよ。