問題
関数\(F(x)\)を次のように定義する。$$\begin{eqnarray}F(x) & = & e^{f(x)}\\ f(x) & = & 2ag(x)-{(g(x))}^2 \\ g(x) & = & x-\mid x+7\mid + \mid x+3 \mid -\mid x-3 \mid + \mid x-7\mid\end{eqnarray}$$ただし、\(a\)は実数である。このとき以下の問に答えよ。
\((1)\) \(F(x)\)が最大となるような\(x\)の値はいくつあるか。
\((2)\) \(F(x)\)が最大となるような\(x\)のうち、最大のものを\(u\)とする。\(u\)は\(a\)の関数と考えられるので、それを\(u = h(a)\)とおく。この関数のグラフの概形をかけ。
方針
\(g(x) = X\)と置いてしまう。
解答
\((1)\) \(g(x) = X\)と置くと、\(f(x) = -(X-a)^2+a^2\)であるから、\(g(x) = a\)となるような\(x\)の個数が\(F(x)\)を最大にする\(x\)の個数となる。\(y=g(x)\)のグラフを描くと下の図のようになる。
したがって、求める\(x\)の個数は
\((i)\) \(\mid a\mid > 3\)なら\(1\)個
\((ii)\) \(\mid a\mid = 3\)なら\(2\)個
\((iii)\) \(1<\mid a\mid < 3\)なら\(3\)個
\((iv)\) \(\mid a\mid = 1\)なら\(4\)個
\((v)\) \(\mid a\mid < 1\)なら\(5\)個
となる。
\((2)\) \((1)\)より\(a<-3\)のときは\(a=u+8\)であり、\(-3\leq a<-1\)のときは\(a=u\)であり、\(a\geq -1\)のときは\(a=u-8\)である。まとめると、$$u = \begin{cases}a-8(a<-3) \\ a (-3\leq a < -1) \\ a+8 (a\geq -1)\end{cases}$$となる。グラフは以下のようになる。ただし、点\((-3, -11)\)および点\((-1, -1)\)は除く。
解説
最初見るとギョッとしてしまうが、\(y = g(x)\)のグラフを描くとなん となく構造が見えてくる。\(g(x)\) はすべての実数値を取るので、\(g(x) = a\) となる \(x\) がどのようなものかを、 \(a\) の値によって丹念に調べていけばいい。知識としては高校 \(1\) 年生で習う\(2\)次関数以上のものは何もいらないが その部分をきちんと理解していたかどうかで、大きな差が出てしまいそうな良問である。\((2)\)は\((1)\)が出来ればおまけである。文字がたくさん出てくるが混同のないように。
関連問題
なし
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