[math]2000年京都大学文系前期数学問題2

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2022.01.27

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問題

実数$x_1, x_2, \cdots, x_n\ (n\geq 3)$が条件$x_{k-1}-2x_k+x_{k+1} > 0\ (2\leq k\leq n-1)$をみたすとし、$x_1, \cdots, x_n$の最小値を$m$とする。このとき、$x_l = m$となる$l\ (1\leq l\leq m)$の個数は$1$または$2$であることを示せ。

方針

与えられた不等式を、三項間漸化式を解く時のように変形する。

解答

$x_{k-1}-2x_k+x_{k+1} > 0\ (2\leq k\leq n-1)$を変形すると、$x_{k-1}-x_k > x_{k}-x{k+1}$となる。これから、$$x_1-x_2 > x_2-x_3 > x_3-x_4 > \cdots > x_{n-1}-x_n \tag{a}$$である。
$(i)$ $x_1\leq x_2$の時、式$(a)$から$x_1<x_2<x_3<\cdots < x_n$となるから、最小値を与える$l$は$l=1$か$l=1, 2$の$1$個か$2$個である。
$(ii)$ $x_{n-1}\geq x_n$の時、式$(a)$から$x_n\leq x_{n-1}<\cdots < x_2<x_1$となるから、最小値を与える$l$は$l=n$か$l=n-1, n$の$1$個か$2$個である。
$(iii)$ 上記以外の時、ある自然数$j\ (2\leq j\leq n-1)$で、$x_{j-1}-x_j\geq 0>x_{j}-x_{j+1}$を満たすものが存在し、式$(a)$より$$x_1-x_2>x_2-x_3>\cdots >x_{j-1}-x_j\geq 0$$ $$0 > x_j-x_{j+1} > x_{j+1}-x_{j+2} > \cdots x_{n-1}-x_n$$となる。つまり、$x_1>x_2>\cdots >x_{j-1}\geq x_j$かつ$x_j<x_{j+1}<\cdots < x_n$となるから、最小値を与える$l$は$l = j$か$l = j-1, j$の$1$個か$2$個である。

解説

解法の鍵は最初に与えられた漸化式を、三項間漸化式を解くときと同じように変形し、議論の出来る形にまで持っていくことである。それが出来ればあとは式$(a)$を眺めて何処に$0$がくるのかで場合分けすれば良い。しかし、最初の変形が出来なかった受験生も大勢いたことだと思われる。最初の着眼が難しい問題である。