[math]1971年東京大学文理共通問題文系問題2理系問題2

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2022.02.032022.01.30

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問題

正数$x$を与えて、$$2a_1 = x, 2a_2 = {a_1}^2+1, \cdots, 2a_{n+1} = {a_n}^2+1, \cdots$$のように数列$\{a_n\}$を定めるとき、
$(1)$ $x\ne 2$ならば$a_1 < a_2<\cdots < a_n < \cdots$となることを証明せよ。
$(2)$ $x<2$ならば、$a_n<1$となることを証明せよ。このとき正数$\epsilon$を$\displaystyle 1-\frac{x}{2}$より小となるようにとって、$a_1, a_2, \cdots, a_n$までが$1-\epsilon$以下となったとすれば、個数$n$について次の不等式が成り立つことを証明せよ。$$2-x > n{\epsilon}^2$$

方針

$(2)$が難しい。順序良く示せた受験生は少ないだろう。手を動かしているうちに解決した、というタイプの問題。

解答

$(1)$ 与えられた漸化式から、$$a_{n+1}-a_n = \frac{(a_n-1)^2}{2}\geq 0 \tag{a}$$となるから、$\displaystyle a_1 = \frac{x}{2}\ne 1$ならば$a_1 < a_2 < \cdots < a_n < \cdots$となる。

$(2)$ 与えられた漸化式から$$1-a_{n+1} = \frac{(1-a_n)(1+a_n)}{2}$$である。$x$は正数であることと、与えられた漸化式から$a_n+1$は正である。なので$1-a_n$の符号は$\displaystyle 1-a_n = 1-\frac{x}{2}$の符号に等しく、これは正である。よって、$x < 2$ならば$a_n<1$となる。次に、式$(a)$から$(1-a_k)^2 = 2(a_{k+1}-a_k)$であることに注意すると、与えられた条件から$\epsilon < 1-a_k\ (1\leq k\leq n)$だから、$${\epsilon}^2 < (1-a_k)^2 = 2(a_{k+1}-a_k) \tag{b}$$がわかる。式$(b)$で$k = 1, 2, \cdots, n$として辺ごとに足して、$$n{\epsilon}^2 < 2\sum_{k=1}^{n}{(a_{k+1}-a_k)} = 2(a_{n+1}-a_1)$$がわかる。前半で$a_n < 1$を示したので、$$2(a_{n+1}-a_1) = {a_n}^2+1-x < 1+1-x = 2-x$$となり、$n{\epsilon}^2 < 2-x$が示された。