[math]2006年度前期東京医科歯科大学数学問題2

Table of Contents

問題

四面体$OABC$において、ベクトル$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$は互いに垂直であるとする。点$O$から三角形$ABC$を含む平面に垂線$l$を引き、その平面と$l$との交点を$H$とする。このとき、
$(1)$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CH} = \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AH} = 0$を示せ。
さらに、$AC=2, BC=3$とする。また$2$点$A, H$を通る直線と辺$BC$との交点を$D$とするとき、点$H$は線分$AD$を$2:1$の比に内分しているとする。このとき以下の各問に答えよ。
$(2)$ $\overrightarrow{CH} = \alpha\overrightarrow{CA}+\beta\overrightarrow{CB}$となる定数$\alpha, \beta$を求めよ。
$(3)$ 辺$AB$の長さを求めよ。
$(4)$ 四面体$OABC$の体積を求めよ。

方針

ベクトルの問題としては標準的だが、分量は多い。誘導は丁寧なので、森に迷わないように気をつける。

解答

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA} = 0$に注意する。また、$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{OH}$は垂直である。つまり、$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{OH} = 0$である。

$(1)$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CH} = \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OH}-(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OC} = 0$である。同様に、$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OH}-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{OA} = 0$である。

$(2)$ 点$D$は辺$CB$上にあるので、$\overrightarrow{CD} = t\overrightarrow{CB}(0<t<1)$と置く。点$H$は線分$AD$を$2:1$に内分するので、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{CH} & = & \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CD} \\ & = & \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2t}{3}\overrightarrow{CB} \tag{a} \end{eqnarray}$$となる。簡単のため、$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} = s$とすると、$(1)$から$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CH} = 0$だから、代入して$$(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB})\cdot \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2t}{3}\overrightarrow{CB}\right) = 0 $$である。$\mid \overrightarrow{CA} \mid = 2, \mid \overrightarrow{CB} \mid = 3$に注意して展開すると、$$\frac{4}{3}+\frac{2ts}{3}-\frac{s}{3}-6t = 0 \tag{b}$$である。同じく$(1)$から$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AH} = 0$であり、変形して$-\overrightarrow{CB}\cdot(\overrightarrow{CH}-\overrightarrow{CA}) = 0$となるから、代入して$$-\overrightarrow{CB}\cdot \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2t}{3}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right) = 0$$となる。よって、$$\frac{2s}{3}-6t = 0 \tag{c}$$である。式$(c)$から$s = 9t$となり、それを式$(b)$に代入して整理すると、$$18t^2-27t+4 = 0$$となる。つまり、$$(3t-4)(6t-1) = 0$$である。$0<t<1$であったから、$\displaystyle t = \frac{1}{6}$である。これを改めて式$(a)$に戻して、$\displaystyle \overrightarrow{CH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{9}\overrightarrow{CB}$となる。つまり、$\displaystyle \underline{\alpha = \frac{1}{3}, \beta = \frac{1}{9}}$となる。

$(3)$ $\displaystyle t = \frac{1}{6}$だから、式$(b)$に代入して$\displaystyle s = \frac{3}{2}$である。つまり、$\displaystyle \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} = \frac{3}{2}$である。これから、$$\begin{eqnarray}\mid \overrightarrow{AB} \mid^2 & = & \mid \overrightarrow{CA}- \overrightarrow{CB} \mid ^2 \\ & = & \mid \overrightarrow{CA} \mid ^2 -2\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA} + \mid \overrightarrow{CA} \mid^2 \\ & = & 9-2\cdot \frac{3}{2} + 4 \\ & = & 10\end{eqnarray}$$である。よって、辺$AB$の長さは$\underline{\sqrt{10}}$となる。

$(4)$ ベクトル$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$は互いに垂直であるから、点$O$を原点とした三次元$xyz$座標において、点$A, B, C$の座標をそれぞれ$(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$と置くことができる。三平方の定理から$$\begin{eqnarray}AB^2 & = & OA^2+OB^2 \\ & = & a^2+b^2 \\ BC^2 & = & OB^2+OC^2 \\ & = & b^2+c^2 \\ CA^2 & = & OC^2+OA^2 \\ & = & c^2+a^2\end{eqnarray}$$となる。ここに$AB=\sqrt{10}, BC=3, CA=2$を代入して、$$\begin{cases}a^2+b^2= 10 \\ b^2+c^2=9 \\ c^2+a^2 = 4\end{cases}$$となり、これから$\displaystyle a^2=\frac{5}{2}, b^2=\frac{15}{2}, c^2=\frac{3}{2}$を得る。よって、四面体$OABC$の体積は$\displaystyle \frac{abc}{6} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{5}{2}\cdot \frac{15}{2}\cdot \frac{3}{2}} = \underline{\frac{5\sqrt{2}}{8}}$となる。

解説

$(2)$ 問題の文章に引きづられて$\overrightarrow{CH} =\alpha\overrightarrow{CA}+\beta\overrightarrow{CB}$とすると、文字が$3$つ、つまり、$\alpha, \beta$と$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$出てくるのに式が$2$つで求めることができない。条件から点$H$は辺$AD$を$2:1$に内分するので、式中に反映する。

$(3)$ 余弦定理を用いる。

$(4)$ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$はすべて互いに直行するので、空間座標に立体を乗せる感じで辺の長さを設定するとうまくいく。細かいテクニックだが、$a, b, c$を計算するときには最初に$a^2+b^2+c^2$を計算すると、楽になる。

[math]2006年度前期東京医科歯科大学数学問題2

問題

方針

解答

解説

関連問題

コメント