問題
四面体\(OABC\)の辺\(OA\)上に点\(P\)、辺\(AB\)上に点\(Q\)、辺\(BC\)上に点\(R\)、辺\(CO\)上に点\(S\)をとる。これらの\(4\)点をこの順序に結んで得られる図形が平行四辺形となるとき、この平行四辺形\(PQRS\)の\(2\)つの対角線の交点は\(2\)つの線分\(AC\)と\(OB\)のそれぞれ中点を結ぶ線上にあることを示せ。
方針
ベクトルの問題として解く。
解答
\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}\)などと置く。問題文の条件を式にすると、$$\begin{cases}\overrightarrow{p} = p\overrightarrow{a}\ (0<p<1)\\ \overrightarrow{q} = (1-q)\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}\ (0<q<1) \\ \overrightarrow{c} = (1-r)\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}\ (0<c<1)\\ \overrightarrow{s} = (1-s)\overrightarrow{c}\ (0<s<1)\end{cases}$$である。四角形\(PQRS\)は平行四辺形だから、\(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}\)である。よって、$$(1-p-q)\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}=(1-r)\overrightarrow{b}+(r+s-1)\overrightarrow{c}$$が成り立つ。\(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\)は一次独立なので、$$\begin{cases}1-p-q = 0 \\ q=1-r \\0 = r+s-1\end{cases}$$である。これから\(q=1-p, r = p, s = 1-p\)となる。よって、$$\begin{cases}\overrightarrow{p} = p\overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{q} = p\overrightarrow{a} + (1-p)\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{r} = (1-p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} \\ \overrightarrow{s} = p\overrightarrow{c}\end{cases}$$となる。平行四辺形\(PQRS\)の対角線の交点は\(\displaystyle \frac{\overrightarrow{p}+\overrightarrow{r}}{2}\)または\(\displaystyle \frac{\overrightarrow{q}+\overrightarrow{s}}{2}\)で、これは\(\displaystyle \frac{p}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1-p}{2}\overrightarrow{b}+\frac{p}{2}\overrightarrow{c}\)である。変形して、\(\displaystyle p\cdot \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}}{2}+(1-p)\cdot \frac{\overrightarrow{b}}{2}\ (0<p<1)\)となり、交点が線分\(AC\)の中点と線分\(OB\)の中点を結ぶ線上にあることがわかる。
解説
問題分にはベクトルという言葉は書いてないが、典型的なベクトルの問題である。京都大学ではこのようなタイプの問題が文理関わらず、多く出題されている。京大の問題らしく、自分ですべて設定しなくてはいけない。
なお、1981年に全く同じ問題が出題されている。このときの出題では誘導があり、自力で設定しなくてはいけない本問題のほうが難しく感じる受験生も多かったかもしれない。
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