問題
\(p\)を素数、\(a, b\)を互いに素な正の整数とするとき、\({(a+bi)}^p\)は実数ではないことを示せ。ただし\(i\)は虚数単位を表す。(\(30\)点)
方針
とりあえず展開する。\(p=2\)は別に考える。
解答
\(p=2\)の時は、\({(a+bi)}^p=a^2-b^2+2abi\)は実数では無い。\(p\geq3\)の時は、\( Im {(a+bi)}^p = p a^{p-1} b-_{p-3}C_{3}a^{p-3}b^3+\cdots \pm b^{p}\)である。
- \(a\geq2\)の時、最終項以外は\(a\)で割り切れるが、最終項は割り切れない。したがって、上記が\(0\)になることはない。
- したがって\(a=1\)の時を考える。虚数部分は$$pb-_{p-3}C_{3}b^{3} + \cdots \pm b^{p}$$である。これが0になるとすると、$$p-_{p-3}C_{3}b^2 + \cdots \pm b^{p-1} = 0$$が成り立つ。変形すると、\(p = b\times \)整数、の形になるので、\(b = 1\)あるいは\(b=p\)でなければならない。
- \(b=1\)の時、\(a+bi =1+i\)となるが、この複素数の偏角は\(\frac{\pi}{4}\)だから、\((a+bi)^p\)の偏角は\(\frac{p \pi}{4}\)となり、\(p\)が\(3\)以上の素数の時は、これが整数\(\times\pi\)の形になることはない。したがって、\((1+i)^p\)は実数にはならない。
- \(b=p\)の時、$$p-_{p-3}C_{3}b^2 + \cdots \pm b^{p-1} = 0$$を変形して、$$1=_{p-3}C_{3}p + \cdots \pm p^{p-2}$$となる。右辺は\(p\)の倍数だが、左辺はそうではない。これは矛盾である。
以上から、\(a, b\)が互いに素な正の整数で、\(p\)が素数の時、\((a+bi)^p\)が実数となることはない。
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