[math]1976年京都大学理系数学問題6

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問題

外観では区別できない$2$つの袋$U_1, U_2$があり、$U_1$には$4n$個の赤玉と$n$個の白玉、$U_2$には$2n$個の赤玉と$3n$個の白玉がそれぞれ入っている。この袋のどちらかが観測者に手渡され、袋$U_1$が手渡される確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$、袋$U_2$が手渡される確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$である。観測者は手渡された袋から$3$個球を取り出し、赤玉の数が白玉の数より多いときは手渡された袋は$U_1$であると判断し、そうでないときは$U_2$であると判断する。観測者が誤った判断を下す確率を$p_n$とするとき、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{p_n}$を求めよ。

方針

一瞬条件付き確率の問題かと思うが、落ち着いてみればただの確率の問題である。

解答

観測者が誤った判断を下すのは、$(i)$袋$U_1$を渡されて、赤玉の数が白玉の数よりも少ないときか、$(ii)$袋$U_2$を渡されて、赤玉の数が白玉の数よりも多いとき、の$2$通りがある。

$(i)$ このとき、袋$U_1$を渡される確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$である。また、白玉の数の方が多いのは、白玉が$3$個の場合と、白玉が$2$個の場合があって、玉の取り出し方は$_{5n}{\mathbb{C}}_{3}$通りであるから、全体としての確率は$$\begin{eqnarray}\frac{2}{3}\cdot \frac{_{n}{\mathbb{C}}_{3}+_{n}{\mathbb{C}}_{2}\cdot _{4n}{\mathbb{C}}_{1}}{_{5n}{\mathbb{C}}_{3}} & = & \frac{2}{3}\cdot \frac{n(n-1)(n-2) + 12n\cdot n(n-1)} {5n(5n-1)(5n-2)}\\ & = & \frac{2n(n-1)(13n-2)}{15n(5n-1)(5n-2)}\end{eqnarray}$$となる。

$(ii)$ このとき、袋$U_2$を渡される確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$である。また、赤玉の数の方が多いのは、赤玉が$3$個の場合と、赤玉が$2$個の場合があって、玉の取り出し方は$_{5n}{\mathbb{C}}_{3}$通りであるから、全体としての確率は$$\begin{eqnarray}\frac{1}{3}\cdot \frac{_{2n}{\mathbb{C}}_{3}+_{2n}{\mathbb{C}}_{2}\cdot _{3n}{\mathbb{C}}_{1}}{_{5n}{\mathbb{C}}_{3}} & = & \frac{1}{3}\cdot \frac{2n(2n-1)(2n-2) + 9n\cdot 2n(2n-1)} {5n(5n-1)(5n-2)}\\ & = & \frac{2n(2n-1)(11n-2)}{15n(5n-1)(5n-2)}\end{eqnarray}$$となる。

$(i), (ii)$から$\displaystyle p_n = \frac{2n(n-1)(13n-2) + 2n(2n-1)(11n-2)}{15n(5n-1)(5n-2)}$である。よって、$n\to \infty$での極限は$\displaystyle \frac{2\cdot 1\cdot 13+2\cdot 2\cdot 11}{15\cdot 5\cdot 5}=\underline{\frac{14}{75}}$となる。