[math]2022年武蔵中学校算数問題4

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問題

図のような、点$O$が中心の大小$2$つの半円があります。点$P$は点$A$を出発して大きい半円の円周上を毎秒$3cm$の速さで点$B$まで進み、$B$で$2$秒間停止した後、再び同じ円周上を同じ速さで$A$まで進み、$A$で$2$秒間停止します。$P$はこの動きを繰り返します。また、点$Q$は点$C$を出発して小さい半円の円周上を点$D$まで進み、$D$からは直径$DC$上を進んで$C$まで戻る動きを繰り返します。$Q$は停止することなく毎秒$2cm$の速さで動きます。$P, Q$が同時に$A, C$を出発したとき、次の各問に答えなさい。ただし、この問題では円周率は$\displaystyle 3\frac{1}{7}$とします。（式や考え方も書きなさい）。
$(1)$ 点$Q$が点$C$に初めて戻ってくるのは出発して何秒後ですか。
$(2)$ 角$POQ$の大きさが初めて$45^\circ$になるのは出発して何秒後ですか。
$(3)$ 点$Q$が直径$CD$上になく、$3$点$O, P, Q$が一直線上に並ぶことがあります。初めてそうなるのは出発して何秒後ですか。また、$3$回目にそうなるのは出発して何秒後ですか。

方針

$(3)$が難しい。グラフを書く必要がある。

解答

円周率は$\displaystyle 3\frac{1}{7}=\frac{22}{7}$であることに注意する。

$(1)$ 円周$CD$の距離は$\displaystyle 7\times \frac{22}{7}=22cm$である。点$D$から$C$への距離は$14cm$である。点$Q$は毎秒$2cm$動くから、点$C$に初めて戻ってくるのは、$\displaystyle \frac{22+14}{2}=\underline{18}$秒後である。

$(2)$ 円周$AB$の距離は$\displaystyle 21\times \frac{22}{7} = 66cm$である。点$P$は毎秒$3cm$動くから、点$B$につくのは$22$秒後である。点$P$は$11$秒後に$O$の真上、円周$AB$の半分の位置にいる。このとき、点$Q$は点$D$に到着している。この半分の$5.5$秒後に、点$P$は円周$AB$の$\displaystyle \frac{1}{4}$の位置にいて、また点$Q$は$O$の真上にいる。このとき角$POQ$は$45^\circ$になる。よって、答えは$\underline{5.5}$秒後である。

$(3)$ 下のようにグラフを書く。黒線が$Q$の動く軌跡で、赤線が$P$の動く軌跡である。これをみると、初めて$OPQ$が一直線上に並ぶのは、$P$は$B$から$A$に戻る途中で、$Q$は$C$から$D$に向かう途中であることがわかる。$P, Q$が出会うまでに経過する時間を$t$とすると、$P$が進んだ距離のうち、円周$AB$の長さにおける割合は、$\displaystyle \frac{3}{66}\times (t-24)$である。また、$Q$が進んだ距離のうち、円周$CD$の長さにおける割合は、$\displaystyle \frac{22-2\times (t-18)}{22}$である。これは等しいから、$$\frac{3}{66}(t-24) = \frac{22-2(t-18)}{22}$$となる。よって、$\displaystyle t = \frac{82}{3}$となり、$P, Q$が初めて出会うのは$\displaystyle \underline{27\frac{1}{3}}$秒後である。また、$3$回目に出会うのは、下のグラフから$P$は$A$から$B$に向かう途中で、$Q$は$C$から$D$に向かう途中であることがわかる。$P, Q$が出会うまでに経過する時間を$t$とすると、$P$が進んだ距離のうち円周$AB$の長さにおける割合は$\displaystyle \frac{3}{66}\times(t-48)$である。また、$Q$が進んだ距離のうち、円周$CD$の長さにおける割合は、$\displaystyle \frac{2}{22}\times(t-54)$となる。これは等しいから、$$\frac{3}{66}\times (t-48) = \frac{2}{22}\times (t-54)$$となる。よって、$\displaystyle t = 60$となり、$P, Q$が$3$回目に出会うのは$\underline{60}$秒後である。