[math]1991年前期東京医科歯科大学数学問題2

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問題

座標空間内の図形W={(x,y,z)3x2+3y2z20}について、次の各問に答えよ。
(1) 原点Oを中心とする半径1の球とWとが交わってできる図形の体積Vを求めよ。
(2) 原点以外の点Pに対し、ベクトルOPOQ=(4,3,5)とのなす角をθとする。PWを動くとき、cosθの最大値を求めよ。

方針

空間座標の問題の鉄則は、あるひとつの平面での切り口を考えることに尽きる。

解答

(1) 原点Oを中心とする半径1の球はx2+y2+z21と表される。z=t (1t1)とする。この平面によるWと球との切り口はそれぞれx2+y2t23x2+y21t2である。したがって、問題の図形のz=tによる切り口の面積をS(t)とすると、1t2t23、つまり32t32のときはt23πで、1t2t23、つまり1t32,32t1のときには(1t2)πとなる。以上から、求める体積はV=11S(t)dt=201S(t)dt=2032t23πdt+321(1t2)πdt=2π9[t3]032+2π[tt33]321=4233πである。

(2) Wの方程式は3(x2+y2)z2だから、W上の点P(x,y,z)に対し、x=tcosϕ,y=tsinϕ (0tz3,0ϕ2π)とおける。このとき、cosθ=OPOQOP∣∣OQ=4x+3y+5zx2+y2+z242+32+52=4tcosϕ+3tsinϕ+5z52x2+y2+z2=t(cosϕ,sinϕ)(4,3)+5z52t2cos2ϕ+t2sin2ϕ+z2であるが、内積絶対値の積であるから、tcos2ϕ+sin2ϕ42+32+5z52(t2+z2)=t+z2(t2+z2)である。f(t)=t+zt2+z2(0tz3)とすると、f(t)=t2+z2(t+z)tt2+z2t2+z2=z(zt)(t2+z2)320となる。したがってf(t)は増加関数で、f(t)f(z3)=1+32となる。以上より、cosθ121+32=2+64である。等号はt=z3,tanϕ=34、つまりx=4z53,y=3z53のとき成立する。また、これは確かにW上の点である。よって、cosθの最大値は2+64である。

解説

Wは実は直円錐になる。もしそのことが分かっていれば、(1)(2)も図形的に解くことが可能である。しかし現在高校の授業では空間図形をほとんどまともに扱っていない状況なので、別の方法で対処する必要がある。この問題はかなり昔の問題だが、昨今の入試問題を見渡してみても、パッと見空間の問題というのは必ず出題されている。そのような問題に対応するのに高校で習わない知識を詰め込む必要は無い。基本は、ある平面での切り口を考えることだけで、(1)はそれが身に付いていれば比較的簡単に解ける。z=tでの切り口を考えてから、それを足し上げている(積分している)。

(2)も、上の解答ではほとんど図を書かず、式だけで片付けてしまっている。ポイントは、3(x2+y2)z2となっているので、x=tcosϕ,y=tsinϕのように置けるということで、ここが理解できていれば後は単なる計算問題になる。式変形の途中で、内積絶対値の積を用いている。先にややこしそうなϕの方の評価を済ましてから、tを動かす。不等式を持ち出しているので、最後には等号を成り立たせるようなx,y,zが存在することを言っておかないと、減点されてしまうだろう。

図形的考察と式変形のみでの攻略というのは決して対立するものではない。必要なときに必要な手法がとれれば良い。

関連問題

1985年京都大学理系数学問題4 空間図形と整数、置き換えの利用
2006年度前期東京医科歯科大学数学問題2 四面体、空間座標、体積
2010年東京医科歯科大学前期数学問題2 空間図形と体積
2012年東京医科歯科大学前期数学問題2 空間図形と求積、断面図

関連リンク

Science Tokyo 旧・東京医科歯科大学

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