[math]2022年京都大学理系数学問題5

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問題

曲線$\displaystyle C: y = \cos^3{x} \ \ \left(0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\right)$、$x$軸および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S$とする。$\displaystyle 0 < t < \frac{\pi}{2}$とし、$C$上の点$Q (t, \cos^3{t})$と原点$O$、および$P(t, 0), R(0, \cos^3{t})$を頂点にもつ長方形$OPQR$の面積を$f(t)$とする。このとき、次の各問に答えよ。
$(1)$ $S$を求めよ。
$(2)$ $f(t)$は最大値をただひとつの$t$でとることを示せ。そのときの$t$を$\alpha$とすると、$\displaystyle f(\alpha) = \frac{\cos^4{\alpha}}{3\sin{\alpha}}$であることを示せ。
$(3)$ $\displaystyle \frac{f(\alpha)}{S}<\frac{9}{16}$を示せ。

方針

$(1)$ そのまま積分すれば良い。

$(2)$ どんどん式を置いていく。

$(3)$ 多少頭を使うことが必要で、$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$だけではうまくいかない。$(1), (2)$の仮定から$g(\beta) > 0$となる$\beta$を発見できれば、$\displaystyle \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}$と評価を狭めることができる。$\beta$の候補としては、$\displaystyle \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}$などが挙げられる。

解答

$(1)$ $\cos{3x} = 4\cos^3{x}-3\cos{x}$を利用して、$$\begin{eqnarray}S & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^3{x}dx}\\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos{3x} + 3\cos{x}}{4}dx}\\ & = & \left[\frac{\sin{3x}}{12}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} +\left[\frac{3\sin{x}}{4}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ & = & -\frac{1}{12}+\frac{3}{4}\\ & = & \underline{\frac{2}{3}}\end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ $f(t) = t\cos^3{t}$であるから、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(t) & = & \cos^3{t}-3t\cos^2{t}\sin{t}\\ & = & \cos^2{t}(\cos{t}-3t\sin{t})\end{eqnarray}$$である。$g(t) = \cos{t}-3t\sin{t}$とすると、$$\begin{eqnarray}g^{\prime}(t) & = & -\sin{t}-3\sin{t}-3t\cos{t}\\ & = & -4\sin{t}-3t\cos{t}\end{eqnarray}$$となるが、これは$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$で負となる。したがってこの範囲で$g(t)$は減少関数で、$\displaystyle g(0) = 1, g\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{3\pi}{2} < 0$となるから、区間$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$に$g(t) = 0$となる$t$がただ一つ存在する。それが$\alpha$で、$\alpha$の前後で$f^{\prime}(t) = \cos^2{t}g(t)$は符号を正から負に変える。したがって、$\cos{\alpha}-3\alpha\sin{\alpha} = 0$であるが、$$\begin{eqnarray}f(\alpha) & = & {\alpha}\cos^3{\alpha}\\ & = & \frac{\cos{\alpha}}{3\sin{\alpha}}\cdot \cos^3{\alpha}\\ & = & \frac{\cos^4{\alpha}}{3\sin{\alpha}}\end{eqnarray}$$である。

$(3)$ $(1), (2)$から$$\begin{eqnarray}\frac{f(\alpha)}{S} & = & \frac{\cos^4{\alpha}}{2\sin{\alpha}}\end{eqnarray}$$である。また、$\displaystyle g\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\sqrt{3}-\pi}{4} > 0$だから、$\displaystyle \frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{\pi}{2}$がわかる。$\displaystyle h(t) = \frac{\cos^4{t}}{2\sin{t}}$とすると、$$\begin{eqnarray}h^{\prime}(t) & = & \frac{4\cos^3{t}(-\sin{t})\sin
{t}-\cos^5{t}}{2\sin^2{t}}\\ & = & \frac{\cos^{3}{t}(-4\sin^2{t}-\cos^2{t})}{2\sin^2{t}}\\ & < & 0\end{eqnarray}$$である。したがって、$h(t)$は減少関数で、$$\begin{eqnarray}h(\alpha) & < & h\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ & = & \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4\cdot 2 \\ & = & \frac{9}{16}\end{eqnarray}$$である。

解説

下記の関連問題とそっくりであるが、誘導がない分この2022年の問題の方が難しい。問題になるのは$(3)$だが、$(2)$の答えを関数として置き直して改めて微分すると減少関数になる。そこで、$\alpha$を下から評価するのであるが、方針で書いた通り、$\displaystyle t = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$で$g(t)$の値がどうなるか、ある程度手を動かさないといけない。微分法だけでなく、式の扱い、三角関数についても習熟が必要で、決して易しい問題ではないだろう。