[math]2000年京都大学理系後期数学問題6

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問題

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x) = \int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t^2}dt}$で定める。
$(1)$ $y = f(x)$の$x = 1$における法線の方程式を求めよ。
$(2)$ $(1)$で求めた法線と$x$軸および$y = f(x)$のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

方針

$(2)$は$f(x)$の積分は直接計算することが難しいので、部分積分法を用いる。

解答

$(1)$ $\displaystyle f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^2}$で、$\displaystyle f^{\prime}(1) = \frac{1}{2}$であるから、求める法線は$$\begin{eqnarray}y & = & -2(x-1)+f(1)\\ & = & -2x+2+\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+t^2}dt}\\ & = & -2x+2+\frac{\pi}{4}\end{eqnarray}$$となる。ただし、積分の計算で$t = \tan{\theta}$と置換した。答えは$\displaystyle \underline{y = -2x+2+\frac{\pi}{4}}$となる。

$(2)$ $y = f(x)$は$f^{\prime}(x) > 0$より単調増加で、その概形は下の図のようになるから、求める面積を$S$とすると、$$\begin{eqnarray}S & = & \int_{0}^{1}{f(x)fx} + \frac{{\pi}^2}{64}\\ & = & [xf(x)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{xf^{\prime}(x)dx} + \frac{{\pi}^2}{64}\\ & = & f(1)-\int_{0}^{1}{\frac{x}{1+x^2}dx} + \frac{{\pi}^2}{64}\\ & = & \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}[\log{(1+x^2)}]_{0}^{1}+\frac{{\pi}^2}{64}\\ & = & \underline{\frac{\pi}{4}-\frac{\log{2}}{2}+\frac{{\pi}^2}{64}}\end{eqnarray}$$となる。

図形の概略図。$f(x)$の$0$から$1$までの積分と、図の三角形の部分を足した面積が答えになる。

解説

$(1)$ 計算だけであるが、接線と法線を間違えないように注意する。法線とは、ある点を通り、その点における接線に直交する直線として理解すれば良い。接線の傾きを$m$として、法線の傾きを$n$とすると、$mn = -1$から法線の傾きを求めることができる。$(1)$の過程で$\displaystyle f(1) = \frac{\pi}{4}$がわかり、この値は$(2)$でも用いる。

$(2)$ それほど厳密に図を書く必要はない。位置関係がわかれば十分である。積分の式も簡単に立てられるが、$f(x)$が積分の式で定義されているので、部分微分法を用いて、$f^{\prime}(x)$が出てくるようにする。三角形だけ別に計算するが、$(1)$で求めた法線で$x = 0$となる点が図の$\displaystyle \left(1+\frac{\pi}{8}, 0\right)$というようにする。

実は、問題の$f(x)$は$\tan{x}$の逆関数となる。すなわち、$y = f(x)$とすると、$x = \tan{y}$である。$(1)$の過程でそのことに気がついたものもいるかも知れない。気が付かなくても、問題を解くことはできる。証明は簡単で、問題分の積分で$t = \tan{\theta}$とすると、$$\begin{eqnarray}f(x) & = & \int_{0}^{\tan^{-1}{x}}{\frac{1}{1+\tan^2{\theta}}\cdot \frac{1}{\cos^2{\theta}}d\theta}\\ & = & \tan^{-1}{x}\end{eqnarray}$$であるから、$x = \tan{y}$となる。