[math]2008年東京工業大学後期数学問題1

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問題

$(1)$ 実数$a_1, a_2, x_1, x_2, y_1, y_2$が$$\begin{eqnarray}0 < a_1 \leq a_2 \\ a_1x_1 \leq a_1y_2 \\ a_1x_2 + a_2x_2 \leq a_1y_1 + a_2y_2\end{eqnarray}$$をみたしているとする。このとき$x_1 + x_2 \leq y_1 + y_2$であることを証明せよ。
$(2)$ $n$を$2$以上の整数とし、$3n$個の実数$a_1, a_2, \cdots, a_n, x_1, x_2, \cdots, x_n, y_1, y_2, \cdots, y_n$が$$0\leq a_1 \leq a_2\leq \cdots \leq a_n$$および$n$個の不等式$$\sum_{i = 1}^{j}{a_ix_i}\leq \sum_{i=1}^{j}{a_iy_i}\ \ \ (j = 1, 2, \cdots, n)$$をみたしているならば、$$\sum_{i=1}^{n}{x_i}\leq \sum_{i = 1}^{n}{y_i}$$であることを証明せよ。

方針

$(1)$を$(2)$に一般化するのが難しい。$y_i-x_i = z_i$と置いて、さらに$a_1z_1 = b_1, a_1z_1 + a_2z_2 = b_2$などとしたときに、$z_1+z_2 \geq 0$を示すことを目標にする。

解答

以後$y_j-x_j = z_j\ \ (j = 1, 2, \cdots, n)$とする。

$(1)$ $a_1z_1 = b_1, a_1z_1 + a_2z_2 = b_2$とすると、$b_1 \geq0, b_2 \geq 0$である。これは、$0< a_1\leq a_2$より、$\displaystyle z_1 = \frac{b_1}{a_1}, z_2 = \frac{b_2-b_1}{a_2}$と変形できる。今、$0 < a_1 \leq a_2, b_1 \geq 0$より、$\displaystyle z_2 = \frac{b_2}{a_2}-\frac{b_1}{a_2}\geq \frac{b_2}{a_2}-\frac{b_1}{a_1}$が成り立つ。したがって、$$\begin{eqnarray}z_1 + z_2 & = & \frac{b_1}{a_1} + \left(\frac{b_2}{a_2}-\frac{b_1}{a_2}\right)\\ & \geq & \frac{b_1}{a_1} + \left(\frac{b_2}{a_2}-\frac{b_1}{a_1}\right)\\ & = & \frac{b_2}{a_2} \\ & \geq & 0\end{eqnarray}$$である。よって、$x_1+x_2\leq y_1 + y_2$である。

$(2)$ $(1)$と同様に$a_1z_1 = b_1, a_1z_1 + a_2z_2 = b_2, \cdots, a_1z_1 + a_2z_2 + \cdots + a_nz_n = b_n$とする。与えられた条件から、$b_j \geq 0 \ (j = 1, 2, \cdots, n)$である。これは、$0 < a_1 \leq a_2\leq \cdots \leq a_n$より、$\displaystyle z_1 = \frac{b_1}{a_1}, z_2 = \frac{b_2-b_1}{a_2}, \cdots , z_n = \frac{b_n-b_{n-1}}{a_n} $と変形できる。今、$0 < a_1\leq a_2 \leq \cdots \leq a_n, b_{j-1}\geq 0\ (j = 2, 3, \cdots, n)$より$\displaystyle z_j = \frac{b_j}{a_j}-\frac{b_{j-1}}{a_{j}}\geq \frac{b_j}{a_j}-\frac{b_{j-1}}{a_{j-1}}$が成り立つ。したがって、$$\begin{eqnarray}z_1+z_2 + \cdots + z_n & = & \frac{b_1}{a_1} + \left(\frac{b_2}{a_2}-\frac{b_1}{a_2}\right) + \cdots + \left(\frac{b_n}{a_n}-\frac{b_{n-1}}{a_n}\right) \\ & \geq & \frac{b_1}{a_1}+\left(\frac{b_2}{a_2}-\frac{b_1}{a_1}\right)+\cdots + \left(\frac{b_n}{a_n}-\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}\right) \\ & = & \frac{b_n}{a_n} \\ & \geq & 0\end{eqnarray}$$である。よって、$x_1 + x_2 + \cdots + x_n \leq y_1 + y_2 + \cdots + y_n$である。

解説

$(1)$ これはそれほど苦労せずに解ける。文字がやや多いが適当に式をいじっていれば、$10$分もあれば解決出来るだろう。ただし、これを$(1)$の一般化である$(2)$に繋げるのがとても難しい。背理法、差を作るなど色々な手法が考えられるが$\cdots$。$(2)$はとても考えにくい。キレイに説明出来た受験生は相当な実力を持っているものと自信をもっても良い。解答をいきなり読むとギョッとするかもしれないが、当然裏がある。以下の問題を参照する。

$a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_n$は実数で、$\displaystyle c_k = \sum_{i=1}^{k}{a_ib_i}\ \ (i = 1, 2, \cdots, n)$とおく。$$\begin{eqnarray}b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n > 0 \\ c_k \leq 0 \ \ (k = 1, 2, \cdots, n-1), c_n > 0\end{eqnarray}$$であるとき、
$(1)$ $a_k \ \ (k = 1, 2, \cdots, n)$を$b_1, b_2, \cdots, b_n, c_1, c_2, \cdots, c_n$を用いて表わせ。
$(2)$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{a_k} > 0$を証明せよ。

1982年の東京慈恵会医科大学で出題された問題であるが、上の東京工業大学の問題とほぼ同じ問題である。この誘導を参考にして、解決したという次第である。東京工業大学では古くに出題された問題を、誘導なしの素材そのままの形で出題することが多々ある。受験生の思考力と勉強の度合いを見るのには良い出題方針なのではないかと思われる。