[math]1995年京都大学前期文理共通問題文系問題5理系問題5

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問題

\(1\)番から\(7\)番まで番号のついた席が番号順に一列に並んでいる。客が順に到着して次のように着席していくとする。
\(\text{（イ）}\) 両端の席および先客が着席している隣の席に次の客が着席する確率は、すべて等しい。
\(\text{（ロ）}\) 両隣が空席の席に着席する確率は、隣の席にすでに先客が着席している席または端の席に着席する確率に比べて\(2\)倍である。
このとき、
\((1)\) \(3\)人目の客が到着したときに、すでに\(1\)番と\(3\)番の席に先客が着席している確率を求めよ。
\((2)\) \(4\)人目の客が到着したときに、すでに\(2\)番、\(4\)番、\(6\)番の席に先客が着席している確率を求めよ。

方針

図を書いて考える。

解答

\((1)\) 一人目の客が\(1\)番の席に座り、二人目の客が\(3\)番の席に座るとき、確率は下の\(\text{①}\)の図のようになる。

このときの確率は\(\displaystyle \frac{1}{12}\cdot \frac{2}{10} = \frac{1}{60} \)となる。また、一人目の客が\(3\)番目の席に座り、二人目の客が\(1\)番目の席に座るとき、確率は図の\(\text{②}\)のようになる。このときの確率は\(\displaystyle \frac{2}{12}\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{48}\)となる。求める確率は\(\displaystyle \frac{1}{60} + \frac{1}{48} = \underline{\frac{3}{80}}\)となる。

\((2)\) \((i)\) 一人目の客が\(2\)番目の席に座り、二人目の客が\(4\)番目の席に座り、三人目の客が\(6\)番目の積に座るとき、確率は図の\(\text{③}\)のようになる。このときの確率は\(\displaystyle \frac{2}{12}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{81}\)となる。
\((ii)\) 一人目の客が\(2\)番目の席に座り、二人目の客が\(6\)番目の席に座り、三人目の客が\(4\)番目の積に座るとき、確率は下の図の\(\text{④}\)のようになる。このときの確率は\(\displaystyle \frac{2}{12}\cdot \frac{2}{8}\cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{72}\)となる。

\((iii)\) 一人目の客が\(4\)番目の席に座り、二人目の客が\(2\)番目の席に座り、三人目の客が\(6\)番目の積に座るとき、確率は下の図の\(\text{⑤}\)のようになる。このときの確率は\(\displaystyle \frac{2}{12}\cdot \frac{2}{8}\cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{72}\)となる。
\((iv)\) 一人目の客が\(4\)番目の席に座り、二人目の客が\(6\)番目の席に座り、三人目の客が\(2\)番目の積に座るとき、対称性から確率は\((iii)\)と同じ\(\displaystyle \frac{1}{72}\)となる。
\((v)\) 一人目の客が\(6\)番目の席に座り、二人目の客が\(4\)番目の席に座り、三人目の客が\(2\)番目の積に座るとき、対称性から確率は\((i)\)と同じ\(\displaystyle \frac{1}{81}\)となる。
\((vi)\) 一人目の客が\(6\)番目の席に座り、二人目の客が\(2\)番目の席に座り、三人目の客が\(4\)番目の積に座るとき、対称性から確率は\((ii)\)と同じ\(\displaystyle \frac{1}{81}\)となる。

以上から、求める確率は\(\displaystyle \frac{4}{81} + \frac{2}{72} = \underline{\frac{5}{324}}\)となる。