問題
次の極限値を求めよ。$$\lim_{n\to\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{-x}(nx-[nx])dx}}$$ただし、\(n\)は自然数とし、\([y]\)は\(y\)を超えない最大の整数を表す。
方針
ガウス記号は外さないと計算できないので、積分区間を\(\frac{i}{n}\leq x\leq \frac{i+1}{n}\)で分割する。ただし、適当な自然数\(m\)に対して、\(i = 0, 1, \cdots ,nm-1\)とする。
解答
上記のように積分区間を分割すると、\([nx] = i\)となるので、$$\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} e^{-x}(n x-i) d x$$
$$=n[-(x+1)e^{-x}]_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}+i[e^{-x}]_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}$$となる。簡単のため\(e^{-\frac{1}{n}}=s\)と置く。
$$= -n\left(\frac{i+1}{n}+1\right)s^{i+1}+n\left(\frac{i}{n}+1\right)s^i+i(s^{i+1}-s^i)$$
$$=ns^i-(n+1)s^{i+1}$$
$$=n(s^i-s^{i+1})-s^{i+1}$$
最後の式で\(i=0, 1, \cdots, nm-1\)として足すと、
$$=n(s^0-s^{nm})-\frac{s-s^{nm+1}}{1-s}$$
$$=n(1-e^{-m})-\frac{e^{-\frac{1}{n}}-e^{-m-\frac{1}{n}}}{1-e^{-\frac{1}{n}}}$$となる。\(m\to\infty\)とすると、
$$=n-\frac{e^{-\frac{1}{n}}}{1-e^{-\frac{1}{n}}}$$
$$=n-\frac{1}{e^{\frac{1}{n}}-1}$$となる。\(\frac{1}{n}=t\)と置くと、\(n\to\infty\)の時\(t\to 0\)である。
$$=\frac{1}{t}-\frac{1}{e^t-1}$$
$$=\frac{e^t-1-t}{t(e^t-1)}$$であるが、ロピタルの定理を連続して使用して、
$$\lim_{t\to 0}{\frac{e^t-1-t}{t(e^t-1)}}$$
$$= \lim_{t\to 0}{\frac{e^t-1}{e^t-1+te^t}}$$
$$=\lim_{t\to 0}{\frac{e^t}{2e^t+te^t}}$$
$$=\frac{1}{2}$$
となる。
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