[math]1993年京都大学理系前期3

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2022.05.112021.09.13

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問題

$f (x)$ は $x$ の整式、 $c$ は定数とする。等式 $\int_{x}^{x + 1} f (t) d t = c f (x)$ がすべての $x$ で成り立つならば、 $f (x)$ は定数であることを示せ。( $30$ 点)

方針

$f (x)$ が整式という条件なので、とりあえず $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ と置いてみる。最高次の係数だけ比べて話が済めば簡単なのだが、そううまくはいかない。

解答

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ と置く。ただし、 $n$ は $1$ 以上の整数で、 $a_{n} \neq 0$ である。この時、 $\int_{x}^{x + 1} f (t) d t = \frac{a_{n}}{n + 1} ((x + 1)^{n + 1} - x^{n + 1}) + \frac{a_{n - 1}}{n} ((x + 1)^{n} - x^{n}) + \dots$ となる。二項定理で展開すると、 $n$ 次の係数は $a_{n}$ であり、 $n - 1$ 次の係数は $(\frac{n}{2} a_{n} + a_{n - 1})$ である。これが $c f (x) = c a_{n} x^{n} + c a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots$ に等しいので、 $a_{n} = c a_{n}, \frac{n}{2} a_{n} + a_{n - 1} = c a_{n - 1}$ である。