[math]1993年京都大学理系前期3

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2022.05.112021.09.13

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問題

$f(x)$は$x$の整式、$c$は定数とする。等式$\int_{x}^{x+1}{f(t)dt} = cf(x)$がすべての$x$で成り立つならば、$f(x)$は定数であることを示せ。($30$点)

方針

$f(x)$が整式という条件なので、とりあえず$$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 $$と置いてみる。最高次の係数だけ比べて話が済めば簡単なのだが、そううまくはいかない。

解答

$$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 $$と置く。ただし、$n$は$1$以上の整数で、$a_n \ne 0$である。この時、$$\int_{x}^{x+1}{f(t)dt} = \frac{a_n}{n+1}((x+1)^{n+1}-x^{n+1}) + \frac{a_{n-1}}{n}((x+1)^n-x^n) + \cdots$$となる。二項定理で展開すると、$n$次の係数は$a_n$であり、$n-1$次の係数は$(\frac{n}{2}a_n+a_{n-1})$である。これが$$cf(x) = ca_{n}x^n+ca_{n-1}x^{n-1}+\cdots$$に等しいので、$a_n = ca_n, \frac{n}{2}a_{n} + a_{n-1}=ca_{n-1}$である。

$a_n \ne0$だから、最初の式から$c = 1$であるが、これを二番目の式に代入すると$a_n=0$となっておかしい。したがって、$a_n \ne 0$という仮定がおかしいのである。以上より、$f(x)$は定数である。