[math]1970年京都大学理系数学問題3

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2022.04.02

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問題

空間に$2$直線$l, g$がある。$l, g$の上にそれぞれ$3$点$A_1, A_2, A_3, B_1, B_2, B_3$がこの順にあって、$A_1A_2 = B_1B_2, A_2A_3 = B_2B_3$であるとする。線分$A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$の中点をそれぞれ$M_1, M_2, M_3$とするとき、$3$点$M_1, M_2, M_3$は同一直線の上にあることを証明せよ。

方針

ベクトルの出番になる。

解答

点$A_1, A_2, A_3$は同一直線$l$上にあるので、$\overrightarrow{A_1A_3} = k\overrightarrow{A_1A_2}$とおける。このとき、$A_1A_2 = B_1B_2, A_2A_3 = B_2B_3$なので、点$B_1, B_2, B_3$も同一直線上にあることに注意して、$\overrightarrow{B_1B_3} = k\overrightarrow{B_1B_2}$とおける。これから、原点を$O$として$$\begin{cases}\overrightarrow{OA_3}-\overrightarrow{OA_1} = k(\overrightarrow{OA_2}-\overrightarrow{OA_1})\\ \overrightarrow{OB_3}-\overrightarrow{OB_1} = k(\overrightarrow{OB_2}-\overrightarrow{OB_1})\end{cases}$$となる。この二式を足して$2$で割ると、$$\overrightarrow{OM_3}-\overrightarrow{OM_1} = k(\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1})$$となる。よって、$\overrightarrow{M_1M_3}= k\overrightarrow{M_1M_2}$となるから、点$M_1, M_2, M_3$は同一直線上にある。