[math]2005年京都大学後期文理共通問題文系問題4理系問題4

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問題

四面体$OABC$において、三角形$ABC$の重心を$G$とし、線分$OG$を$t: 1-t\ (0 < t < 1)$に内分する点を$P$とする。また、直線$AP$と面$OBC$との交点を$A^{\prime}$、直線$BP$と面$OCA$との交点を$B^{\prime}$、直線$CP$と面$OAB$との交点を$C^{\prime}$とする。このとき、三角形$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$は三角形$ABC$と相似であることを示し、相似比を$t$で表わせ。

方針

空間上のベクトル$\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}$が一次独立であるとき、ベクトル$\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}$の張る平面上のベクトルは$\alpha\overrightarrow{x} + \beta\overrightarrow{y}$と表される。つまり、このベクトルが$\alpha\overrightarrow{x}+\beta\overrightarrow{y}+\gamma\overrightarrow{z}$と表されるならば、$\gamma = 0$である。

解答

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とする。このとき$\displaystyle \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{3}$であり、$\displaystyle \overrightarrow{OP} = t\frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{3}$となる。したがって、$\displaystyle \overrightarrow{AP} = \frac{t}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})-\overrightarrow{a}$である。線分$AP$上の点は$\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{AP}$と表されるので、$$\overrightarrow{a} + p\left(\frac{t}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})-\overrightarrow{a}\right)$$である。これが面$OBC$と交わるとき、$\overrightarrow{a}$の係数が$0$になるので、$\displaystyle 1-\frac{pt}{3}-p = 0$となる。よって、$\displaystyle p = \frac{3}{3-t}$となる。よって、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OA^{\prime}} & = & \frac{pt}{3}\overrightarrow{b} + \frac{pt}{3}\overrightarrow{c}\\ & = & \frac{t}{3-t}\overrightarrow{b} + \frac{t}{3-t}\overrightarrow{c}\end{eqnarray}$$である。同様にして$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OB^{\prime}} & = & \frac{t}{3-t}\overrightarrow{a} + \frac{t}{3-t}\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{OC^{\prime}} & = & \frac{t}{3-t}\overrightarrow{a} + \frac{t}{3-t}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}$$となる。これから$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} & = & \frac{t}{3-t}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) & = & \frac{t}{3-t}\overrightarrow{BA}\\ \overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}} & = & \frac{t}{3-t}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) & = & \frac{t}{3-t}\overrightarrow{CB}\\ \overrightarrow{C^{\prime}A^{\prime}} & = & \frac{t}{3-t}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}) & = & \frac{t}{3-t}\overrightarrow{AC}\\\end{eqnarray}$$となるので、三角形$ABC$と$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$は相似で、相似比$\underline{3-t:t}$である。