[math]1981年京都大学理系数学問題2

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問題

空間の、同一平面上にない$4$点$O, A, B, C$を考える。線分$OA, AB, BC, CO$の上にそれぞれ点$P_1, P_2, P_3, P_4$があって$P_1P_2P_3P_4$が平行四辺形をなすものとする。このとき次の問いに答えよ。
$(1)$ $|\overrightarrow{OP_1}|:|\overrightarrow{P_1A}| = k:(1-k), |\overrightarrow{AP_2}|:|\overrightarrow{P_2B}| = (1-l):l, $$|\overrightarrow{BP_3}|:|\overrightarrow{P_3C}| = m:(1-m), |\overrightarrow{CP_4}|:|\overrightarrow{P_4O}| = (1-n):n$とすれば、$k=l=m=n$であることを示せ。ただし、$||$はベクトルの大きさを表す。
$(2)$ 平行四辺形$P_1P_2P_3P_4$の対角線の交点は、線分$OB, AC$のそれぞれの中点を結ぶ線上にあることを示せ。

方針

$O$を起点にすると良い。

解答

$4$点$O, A, B, C$は同一平面上にないので、ベクトル$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$は一次独立である。与えられた条件から$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OP_1} & = & k\overrightarrow{OA}\\ \overrightarrow{OP_2} & = & l\overrightarrow{OA} + (1-l)\overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{OP_3} & = & (1-m)\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC}\\ \overrightarrow{OP_4} & = & n\overrightarrow{OC}\end{eqnarray}$$である。$P_1P_2P_3P_4$は平行四辺形をなすので、$\overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{P_4P_3}$である。よって$$(l-k)\overrightarrow{OA}+(1-l)\overrightarrow{OB} = (1-m)\overrightarrow{OB}+(m-n)\overrightarrow{OC}$$である。これから$l-k = 0, 1-l = 1-m, m-n = 0$となるから、$k = l = m = n$である。

$(2)$ $(1)$から$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OP_1} & = & k\overrightarrow{OA}\\ \overrightarrow{OP_2} & = & k\overrightarrow{OA} + (1-k)\overrightarrow{OB}\\ \overrightarrow{OP_3} & = & \overrightarrow{1-k}\overrightarrow{OB} + k\overrightarrow{OC}\\ \overrightarrow{OP_4} & = & k\overrightarrow{OC}\end{eqnarray}$$となる。平行四辺形$P_1P_2P_3P_4$の対角線の交点は、実数$x, y$を用いて$$\begin{eqnarray}(1-x)\overrightarrow{OP_1}+x\overrightarrow{OP_3} & = & k(1-x)\overrightarrow{OA} + (1-k)x\overrightarrow{OB} + kx\overrightarrow{OC}\\ (1-y)\overrightarrow{OP_2} + y\overrightarrow{OP_4} & = & k(1-y)\overrightarrow{OA} + (1-y)(1-k)\overrightarrow{OB}+yk\overrightarrow{OC}\end{eqnarray}$$と二通りに表すことができる。これから、$$\begin{cases}1-x = 1-y\\ x = 1-y\end{cases}$$であり、$\displaystyle x = y = \frac{1}{2}$となる。よって、交点を表すベクトルは$$(1-k)\frac{\overrightarrow{OB}}{2} + k\frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}}{2}$$となるので、確かに線分$OB, AC$のそれぞれの中点を結ぶ線上にある。