[math]1983年京都大学文理共通問題文系問題4理系問題4

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問題

$3$つのベクトル$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$は互いに直交している。点$O$より直線$BC, CA, AB$に垂線を引き、その交点をそれぞれ$P, Q, R$とする。
$(1)$ 四面体$OPQR$の四面体$OABC$に対する体積比を、$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$の長さ$a, b, c$で表わせ。
$(2)$ 四面体$OPQR$の体積は四面体$OABC$の体積の$\displaystyle \frac{1}{4}$以下であることを示せ。

方針

ベクトルに拘らず座標に載せてしまうと良い。

解答

下のように座標空間に点$A, B, C$を載せる。

三角形$ABC$と三角形$PQR$の面積比を求めれば良い。まず$AR: RB$を求める。$xy$平面で$R(x, y)$とすると、線分$AB$と$OR$は直交するので、直線の直交の条件から$\displaystyle \frac{y}{x}\cdot -\frac{b}{a} = -1$となる。また、点$R$は線分$AB$上にあるので、$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$である。この二式を解くと、$\displaystyle x = \frac{ab^2}{a^2+b^2}, y = \frac{a^2b}{a^2+b^2}$となる。$AR: RB = 1-t:t$とすると、$$(1-t)(a, 0) + t(0, b) = (x, y)$$となる。これから$\displaystyle t = \frac{a^2}{a^2+b^2}$で、$AR: RB = b^2:a^2$となる。他の垂線についても同様に考えると、以下の図のような比になる。

ここから、三角形$ABC$の面積を$S$とすると、三角形$PQR$の面積は$$S-\frac{b^2c^2}{(b^2+a^2)(c^2+a^2)}S-\frac{a^2c^2}{(a^2+b^2)(c^2+b^2)}S-\frac{b^2a^2}{(b^2+c^2)(a^2+c^2)}S$$であるが、計算するとこれは$\displaystyle \frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}S$となる。求める体積比は$\displaystyle \underline{\frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}$である。

$(2)$ 相加平均、相乗平均の関係式から、$$\begin{cases}a^2+b^2\geq 2ab\\ b^2+c^2\geq 2bc\\ c^2+a^2\geq 2ca\end{cases}$$である。辺ごとに掛け合わせて、$$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\geq 8a^2b^2c^2$$である。これを変形して$\displaystyle \frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\leq \frac{1}{4}$を得る。よって、四面体$OPQR$の体積は四面体$OABC$の体積の$\displaystyle \frac{1}{4}$以下となる。