[math]1984年京都大学理系数学問題4

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問題

空間に三角形 $A B C$ があるとし、空間の原点 $O$ は、この三角形が決定する平面上にはないものとする。
$(1)$ 実数 $v, u, w$ が等式 $u \vec{O A} + v \vec{O B} + w \vec{O C} = \vec{0}$ を満たすならば、 $u = v = w = 0$ であることを示せ。
$(2)$ 辺 $B C, C A, A B$ の長さを、それぞれ $a, b, c$ とし、三角形 $A B C$ の内接円の中心を $P$ とすると、等式 $\vec{O P} = u \vec{O A} + v \vec{O B} + w \vec{O C}$ が成立するという。 $u, v, w$ を $a, b, c$ を用いて表わせ。

方針

$(1)$ いきなり空間で示さず、まずは平面で示してみる。

解答

$(1)$ 平面上の平行でない二つのベクトル $\vec{O X}, \vec{O Y}$ に対して、 $x \vec{O X} + y \vec{O Y} = \vec{0}$ であるならば $x = y = 0$ であることを示す。 $x \neq 0$ とすると、 $\vec{O X} = - \frac{y}{x} \vec{O Y}$ となり、二つのベクトルが平行でないことに反する。よって $x = 0$ で、このとき $y = 0$ となる。与えられた関係式 $u \vec{O A} + v \vec{O B} + w \vec{O C} = \vec{0}$ を変形すると、 $- u \vec{A O} + v (\vec{A B} - \vec{A O}) + w (\vec{A C} - \vec{A O}) = \vec{0}$ となる。整理すると $(u + v + w) \vec{A O} = v \vec{A B} + w \vec{A C}$ である。 $u + v + w = 0$ とすると、 $\vec{A O} = \frac{v \vec{A B} + w \vec{A C}}{u + v + w}$ となり、点 $O$ が三角形 $A B C$ の作る平面上にないことに反する。したがって $u + v + w = 0$ で、このとき $v \vec{A B} + w \vec{A C} = \vec{0}$ だから、上の準備から $v = w = 0$ である。よって $u = 0$ となり、結局 $u = v = w = 0$ となる。

$(2)$ 下図のように線分 $A P$ と $B C$ との交わりを $D$ として、 $B D = d$ とする。すると、 $∠ B A D = ∠ C A D$ であるから、 $A B : A C = B D : C D$ となる。よって、 $c (a - d) = b d$ から $d = \frac{c a}{b + c}$ である。

また、 $∠ D A P = ∠ A B P$ であるから、 $B D : B A = D P : A P$ である。以上から $\vec{A D} = \frac{b \vec{A B} + c \vec{A C}}{b + c}$ となり、 $\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & \frac{c}{d + c} \vec{A D} \\ = & \frac{c}{\frac{c a}{b + c} + c} (\frac{b \vec{A B} + c \vec{A C}}{b + c}) \\ = & \frac{b \vec{A B} + c \vec{A C}}{a + b + c} \end{array}$ となる。これを変形すると、 $\vec{O P} - \vec{O A} = \frac{b (\vec{O B} - \vec{O A}) + c (\vec{O C} - \vec{O A})}{a + b + c}$ であり、つまり $\vec{O P} = \frac{a \vec{O A} + b \vec{O B} + c \vec{O C}}{a + b + c}$ であるが、この表し方で一意にベクトル $\vec{O P}$ が定まることは $(1)$ で見た通りである。よって、 $\underset{―}{u = \frac{a}{a + b + c}, v = \frac{b}{a + b + c}, w = \frac{c}{a + b + c}}$ である。