[math]1991年京都大学数学文理共通問題文系問題3理系問題3

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問題

$3$組の対辺が互いに垂直であるような四面体$V$がある。このとき、$V$の各辺の中点は、$V$の垂心を中心とするある$1$つの球面上にあることを示せ。

方針

ベクトルの威力が発揮される。

解答

上のように点をとり、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とする。また、$|\overrightarrow{a}| = a, |\overrightarrow{b}| = b, |\overrightarrow{c}| = c$とする。$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{BC}$が垂直だから、$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}) = 0$となる。同様に$\overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{OC}$と$\overrightarrow{AB}$が垂直だから、$\overrightarrow{b}\cdot (\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}) = 0, \overrightarrow{c}\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) = 0$となる。したがって、$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} = \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a} $となる。この値を$k$と置く。四面体の各辺の中辺は$\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{2}, \frac{\overrightarrow{b}}{2}, \frac{\overrightarrow{c}}{2}, \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{2}, \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{2}, \frac{\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}}{2}$である。また、$V$の中心は$\displaystyle \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}$で与えられる。今、$$\begin{eqnarray}\left|\frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}-\frac{\overrightarrow{a}}{2}\right|^2 & = & \left|\frac{-\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}\right|^2\\ & = & \frac{a^2+b^2+c^2-2k}{16}\end{eqnarray}$$となる。同様に、$\displaystyle \left|\frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}-\overrightarrow{b}\right|^2$と$\displaystyle \left|\frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}-\overrightarrow{c}\right|^2$の値も$\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2-2k}{16}$となる。次に、$$\begin{eqnarray}\left|\frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}-\frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{2}\right|^2 & = & \left|\frac{-\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}\right|^2\\ & = & \frac{a^2+b^2+c^2-2k}{16}\end{eqnarray}$$となる。同様に、$\left|\frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}-\frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{2}\right|^2, \left|\frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}-\frac{\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}}{2}\right|^2$の値も$\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2-2k}{16}$となる。したがって、$V$の各中点は半径$\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2-2k}{16}$の球面上にある。

解説

式変形のみの問題である。平面上の三角形に関しては重心のベクトルは$\displaystyle \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{3}$のように与えられるが、空間上の四面体では重心のベクトルは$\displaystyle \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4}$となる。頭に入れておくべき事柄であるが意外と抜け落ち易いのかもしれない。