[math]2006年京都大学後期数学問題文系問題2

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2022.05.10

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問題

三角形$ABC$の内心を$P$とする。$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$が成り立っているとき、この三角形は正三角形であることを示せ。

方針

点$A$を起点にして考える。

解答

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$を変形して、$$-\overrightarrow{AP} + (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}) + (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}) = \overrightarrow{0}$$だから、$\displaystyle \overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3}$となる。したがって、辺$BC$の中点を$D$として、点$P$は線分$AD$を$2:1$に内分する点である。ここで、点$P$が内心であることから、$\angle{BAP} = \angle{CAP}$となる。したがって、$AB:AC = BD:DC$であるから、$AB = AC$となる。同様にして$BA = BC, CB = CA$を示すことができる。よって、三角形$ABC$は正三角形である。