[math]2002年京都大学前期文系数学問題2

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問題

四角形$ABCD$を底面とする四角錐$OABCD$は$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$を満たしており、$0$と異なる$4$つの実数$p, q, r, s$に対して$4$点$P, Q, R, S$を$$\overrightarrow{OP} = p\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OQ} = q\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OR} = r\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OS} = s\overrightarrow{OD}$$によって定める。このとき$P, Q, R, S$が同一平面上にあれば$\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{1}{q}+\frac{1}{s}$が成立することを示せ。

方針

下の問題とよく似ている。

どんどん文字を置いて示すべき等式に近づけていく。

解答

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC } = \overrightarrow{c}$とすると、$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$は一次独立で、$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$である。$4$点$P, Q, R, S$は同一平面上にあるので、$$\overrightarrow{PS} = x\overrightarrow{PQ} + y\overrightarrow{PR}$$となる実数$x, y$が存在する。したがって、$$\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP} = x(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}) + y(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP})$$である。ここに与えられた条件を代入して、$$s(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})-p\overrightarrow{a} = x(q\overrightarrow{b}-p\overrightarrow{a}) + y(r\overrightarrow{c}-p\overrightarrow{a})$$となる。よって、$$\begin{cases}s-p = -px-py\\ -s = xq\\ s = yr\end{cases}$$となる。下の二つの式から$\displaystyle x = -\frac{s}{q}, y = \frac{s}{r}$であり、上の式に代入すると、$\displaystyle s-p = \frac{ps}{q}-\frac{ps}{r}$となる。両辺を$ps$で割って整理すると、$\displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{r} = \frac{1}{q}+\frac{1}{s}$を得る。