問題
三角形\(ABC\)と点\(P\)に対して、次の\(2\)つの条件は同値であることを証明せよ。
\((i)\) 点\(P\)は三角形\(ABC\)の内部（周は除く）にある。
\((ii)\) 正の数\(a, b, c\)があって、\(a\overrightarrow{PA} + b\overrightarrow{PB} + c\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}\)が成り立つ。
方針
ベクトルの係数の議論に持ち込むと良い。
解答
条件\((i)\)が成り立つとき、正の数\(s, t\)を用いて、\(\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}\ \ (s+t<1)\)と書ける。これを変形すると、\(-\overrightarrow{PA} = s(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}) + t(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA})\)であるから、$$(1-s-t)\overrightarrow{PA} + s\overrightarrow{PB} + t\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$$となる。\(1-s-t > 0, s > 0, t > 0\)であるから条件\((ii)\)が成り立つ。逆に、条件\((ii)\)が成り立つとき、\(a\overrightarrow{PA} + b\overrightarrow{PB} + c\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}\)の両辺を\(a+b+c \ \ )>0\)で割って変形すると、$$-\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{AP} + \frac{b}{a+b+c}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}) + \frac{c}{a+b+c}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}) = \overrightarrow{0}$$である。したがって、$$\overrightarrow{AP} = \frac{b\overrightarrow{AB} + c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}$$である。\(\displaystyle \frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c} < 1\)であるから、この点\(P\)は三角形\(ABC\)の内部にある。
解説
当たり前に使っている事柄であるがきちんと証明は出来たであろうか。こういった証明問題ではかけたつもりでも意外に減点されてしまうものである。解答の一行目の事実もきちんと証明しておいた方が良いのかも知れない\(\cdots\)
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