[math]2019年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

$a$と$b$を実数として、$xy$平面において、$2$つの曲線$$C_1: y = x^4-x^2, C_2: y = a(x^2-1)$$および直線$l: y = b$を考える。ただし$C_1$と$l$は相異なる$4$点で交わるとする。また$C_1$と$C_2$は$0 < x_0 < 1$となる交点$P(x_0, y_0)$をひとつもつとする。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $a$のとりうる値の範囲を求めよ。また$x_0, y_0$を$a$を用いて表わせ。
$(2)$ $b$のとりうる値の範囲を求めよ。また$C_1$と$l$の交点の$x$座標を$b$を用いて表わせ。
$(3)$ $C_1$と$l$で囲まれる領域のうち、$y\leq b$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_1$とする。$V_1$を$b$を用いて表わせ。
$(4)$ $b = y_0$として、$C_2$と$l$で囲まれる領域のうち、$y\leq y_0$の部分を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を$V_2$とする。$3V_1 = V_2$のとき、$a$の値を求めよ。

方針

$(1)$ 比較的簡単に因数分解が可能である。

$(2)$ $C_1$の概形を調べる。

$(3)$ バームクーヘン分割の公式を用いると早い。

$(4)$ 絶対値を外すときには注意しなくてはならない。

解答

$(1)$ $C_1$と$C_2$の方程式を連立させて、$$\begin{eqnarray}x^4-x^2 & = & a(x^2-1)\\ \iff x^4-(a+1)x^2+a & = & 0 \\ (x^2-a)(x^2-1) & = & 0\tag{a}\label{a}\end{eqnarray}$$である。条件が満たされるためには、$\underline{0<a<1}$が必要で、逆にこのとき$C_1$と$C_2$は$0<x_0<1$に交点をひとつ持ち十分である。また、$\underline{x_0 = \sqrt{a}, y_0 = a^2-a}$となる。

$(2)$ $f(x) = x^4-x^2$とすると、$f^{\prime}(x) = 4x^3-2x = 2x(2x^2-1)$である。したがって$f(x)$の増減は以下の表のようになる。ただし、$f(x)$は偶関数なので$x\geq 0$として考える。

\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline x & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots \\ \hline f^{\prime}(x) &0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & 0 & \searrow & -\frac{1}{4} & \nearrow \\ \hline \end{array}

以上から$y = f(x)$の概形は下の図のようになり、求める$b$の範囲は$\displaystyle \underline{-\frac{1}{4} < b < 0}$となる。$C_1$と$l$の交点の$x$座標は$C_1$と$l$の方程式を連立させて、$$\begin{eqnarray}x^4-x^2 & = & b \\ x^4-x^2-b & = & 0\end{eqnarray}$$として、$\displaystyle \underline{x = \pm\sqrt{\frac{1\pm\sqrt{1+4b}}{2}}}$となる。

$(3)$ $\displaystyle x_1 = \sqrt{\frac{1-\sqrt{1+4b}}{2}}, x_2 = \sqrt{\frac{1+\sqrt{1+4b}}{2}}$とする。求める体積は$$\begin{eqnarray}V_1 & = & \pi\int_{x_1}^{x_2}{2x(b-(x^4-x^2))dx}\\ & = & 2\pi\left[-\frac{x^6}{6}+\frac{x^4}{4}+\frac{bx^2}{2}\right]_{x_1}^{x_2}\\ & = & \pi\left(-\frac{{x_2}^6-{x_1}^6}{3}+\frac{{x_2}^4-{x_1}^4}{2}+b({x_2}^2-{x_1}^2)\right) \tag{b}\label{b}\end{eqnarray}$$である。$$\begin{eqnarray}{x_2}^2-{x_1}^2 & = & \frac{1+\sqrt{1+4b}}{2}-\frac{1-\sqrt{1+4b}}{2}\\ & = & \sqrt{1+4b}\\ {x_2}^4-{x_1}^4 & = & \frac{1+2b+\sqrt{1+4b}}{2}-\frac{1+2b-\sqrt{1+4b}}{2} \\ & = & \sqrt{1+4b}\\ {x_2}^6-{x_1}^6 & = & \frac{1+3b+(1+b)\sqrt{1+4b}}{2}-\frac{1+3b-(1+b)\sqrt{1+4b}}{2}\\ & = & (1+b)\sqrt{1+4b}\end{eqnarray}$$であるから、\eqref{b}に代入して、$$\begin{eqnarray}V_1 & = & \pi\left(-\frac{(1+b)\sqrt{1+4b}}{3}+\frac{\sqrt{1+4b}}{2}+b\sqrt{1+4b}\right)\\ & = & \underline{\frac{(1+4b)^{\frac{3}{2}}\pi}{6}}\end{eqnarray}$$となる。

$(4)$ $b = a^2-a$である。$(3)$と同様に、$$\begin{eqnarray}V_2 & = & 2\pi\int_{0}^{x_0}{x(b-a(x^2-1))dx}\\ & = & 2\pi\int_{0}^{x_0}{(-ax^3+(a+b)x)dx}\\ & = & 2\pi\left[-\frac{ax^4}{4}+\frac{(a+b)x^2}{2}\right]_{0}^{x_0}\\ & = & \pi\left(-\frac{a\cdot a^2}{2}+(a+b)a\right)\\ & = & \frac{a^3\pi}{2}\end{eqnarray}$$である。$(3)$から$\displaystyle V_1 = \frac{(1+4b)^{\frac{3}{2}}\pi}{6} = \frac{|2a-1|^3\pi}{6}$であるから、$3V_1 = V_2$のとき、$$\begin{eqnarray}\frac{|2a-1|^3\pi}{2} & = & \frac{a^3\pi}{2}\\ \iff |2a-1|^3 = & a^3 \\ \iff |2a-1| & = &a\end{eqnarray}$$となる。$0 < a < 1$の範囲でこれを満たすのは$-(2a-1) = a$のときで、このとき$\displaystyle \underline{a = \frac{1}{3}}$となる。