[math]2013年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

$m, n$を自然数として、関数$f(x) = x^m(1-x)^n$を考える。このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $0\leq x\leq 1$における$f(x)$の最大値を$m, n$を用いて表わせ。
$(2)$ 定積分$\displaystyle \int_{0}^{1}{f(x)dx}$を$m, n$を用いて表わせ。
$(3)$ $a, b, c$を実数として、関数$g(x) = ax^2+bx+c$の$0\leq x\leq 1$における最大値を$M(a, b, c)$とする。次の$2$条件$(i), (ii)$が成立するとき、$M(a, b, c)$の最小値を$m, n$を用いて表わせ。
$\ \ \ (i)$ $g(0) = g(1) = 0$
$\ \ \ (ii)$ $0<x<1$のとき$f(x)\leq g(x)$
$(4)$ $m, n$が$2$以上の自然数で$m > n$であるとき$$\frac{(m+n+1)!}{m!n!} > \frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n} > 2^{2n-1}$$が成立することを示せ。

方針

$(1)$ 素直に微分すれば良い。

$(2)$ 頻出問題で、部分積分法を用いる。

$(3)$ 条件から$a < 0$でないといけないことがわかる。

$(4)$ いきなりこれを証明しろと言われると厳しいが、丁寧な誘導付きなので、身を任せると良い。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & mx^{m-1}(1-x)^n -nx^m(1-x)^{n-1}\\ & = & x^{m-1}(1-x)^{n-1}(m(1-x)-nx)\\ & = & x^{m-1}(1-x)^{n-1}(m-(m+n)x)\end{eqnarray}$$であるから、$0\leq x\leq 1$における$f(x)$の最大値は$\displaystyle f\left(\frac{m}{m+n}\right) = \underline{\left(\frac{m}{m+n}\right)^{m}\left(\frac{n}{m+n}\right)^n}$となる。

$(2)$ 求める積分を$I(m, n)$とすると、部分積分法により、$$\begin{eqnarray}I(m, n) & = & \int_{0}^{1}{\left(\frac{x^{m+1}}{m+1}\right)^{\prime}(1-x)^n dx} \\ & = & \left[\frac{x^{m+1}(1-x)^n}{m+1}\right]_{0}^{1} + n\int_{0}^{1}{\frac{x^{m+1}(1-x)^{n-1}}{m+1}dx} \\ & = & \frac{n}{m+1}I(m+1, n-1)\end{eqnarray}$$である。これを繰り返し使って、$$\begin{eqnarray}I(m, n) & = & \frac{n}{m+1}I(m+1, n-1)\\ & = & \frac{n}{m+1}\cdot \frac{n-1}{m+2} I(m+2, n-2)\\ & = & \cdots \\ & = & \frac{n(n-1)\cdots 1}{(m+1)(m+2)\cdots (m+n)}I(m+n, 0)\\ & = & \underline{\frac{m!n!}{(m+n+1)!}}\end{eqnarray}$$となる。

$(3)$ 条件$(i)$から$g(0)= c = 0, g(1) = a+b+c = 0$であるから、$b = -a, c = 0$である。したがって、$g(x) = a(x^2-x)$となる。$g(x)$の$0\leq x\leq 1$における最大値の候補は$\displaystyle g(0), g(1), g\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{a}{4}$である。ただし、$\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)$が最大値になるのは$a < 0$のときである。明らかに$0\leq x\leq 1$で$f(x) > 0$であるから、$a < 0$が必要である。さて、条件$(ii)$から$0<x<1$のとき$$\begin{eqnarray}f(x) &\leq &g(x) \\ \iff x^m(1-x)^n & \leq & ax(x-1)\\ \iff x^{m-1}(1-x)^{n-1} & \leq & -a \tag{a}\label{a}\end{eqnarray}$$である。$m\geq 2, n\geq 2$のとき$(1)$と同様にして、$x^{m-1}(1-x)^{n-1}$の最大値は$\displaystyle \frac{(m-1)^{m-1}(n-1)^{n-1}}{(m+n-2)^{m+n-2}}$となるから、$$-a\geq \frac{(m-1)^{m-1}(n-1)^{n-1}}{(m+n-2)^{m+n-2}}$$が必要である。また、$m = 1$あるいは$n=1$のとき\eqref{a}は$-a\geq 1$である。以上から、$\displaystyle M(a, b, c) = -\frac{a}{4}$の最小値は$(m, n)\ne (1, 1)$のとき$\displaystyle \underline{\frac{(m-1)^{m-1}(n-1)^{n-1}}{4(m+n-2)^{m+n-2}}}$となる。また、$m=1$または$n=1$のとき最大値の最小値は$\underline{1}$である。

$(4)$ $(1)$から$0\leq x\leq 1$で$$f(x)\leq \frac{m^m n^n}{(m+n)^{m+n}}$$であるから、$0$から$1$まで積分して、$(2)$を用いると$$\frac{m!n!}{(m+n+1)!}\leq \frac{m^m n^n}{(m+n)^{m+n}}$$である。常には等号が成り立たないので、これから$$\frac{(m+n+1)!}{m!n!} > \frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}$$が成立する。また、$(3)$から$$\frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}\leq \frac{(m-1)^{m-1}(n-1)^{n-1}}{4(m+n-2)^{m+n-2}}$$であるが、これを繰り返し用いると、$m\geq n\geq 2$に注意して、$$\begin{eqnarray}\frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}} & \leq & \frac{(m-1)^{m-1}(n-1)^{n-1}}{4(m+n-2)^{m+n-2}}\\ & \leq & \frac{(m-2)^{m-2}(n-2)^{n-2}}{4^2(m+n-4)^{m+n-4}}\\ & \leq & \cdots \\ & \leq & \frac{(m-(n-1))^{m-(n-1)}(n-(n-1))^{n-(n-1)}}{4^{n-1}(m+n-2(n-1))^{m+n-2(n-1)}} \\ & = & \frac{(m-n+1)^{m-n+1}}{4^{n-1}(m-n+1)^{m-n+2}}\\ & = & \frac{1}{m+n-1}\cdot\frac{1}{2^{2n-2}} \\ & \leq & \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{2n-2}}\\ & = & \frac{1}{2^{2n-1}}\end{eqnarray}$$であるから、変形して$\displaystyle \frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n} > 2^{2n-1}$が成立する。