[math]2017年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

$xyz$空間において、点$O(0, 0, 0)$と点$A(0, 0, 1)$を結ぶ線分$OA$を直径にもつ球面を$\sigma$とする。このとき以下の各問に答えよ。
$(1)$ 球面$\sigma$の方程式を求めよ。
$(2)$ $xy$平面上にあって$O$と異なる点$P$に対して、線分$AP$と球面$\sigma$との交点を$Q$とするとき、$\overrightarrow{OQ} \perp \overrightarrow{AP}$を示せ。
$(3)$ 点$S(p, q, r)$を、$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AS} = -|\overrightarrow{OS}|^2$を満たす、$xy$平面上にない定点とする。$\sigma$上の点$Q$が$\overrightarrow{OS}\perp \overrightarrow{SQ}$を満たしながら動くとき、直線$\overrightarrow{AQ}$と$xy$平面との交点$P$はどのような図形を描くか。$p, q, r$を用いて答えよ。

方針

$(3)$ まずは$S$がどのような点であるかを調べてみる。図形的な考察も可能であろうが、$p, q, r$を用いてという指定があるので、座標空間の手法を用いるのが一番だろう。

解答

$(1)$ $\sigma$の中心は$\displaystyle \left(0, 0, \frac{1}{2}\right)$で、直径は$\displaystyle \frac{1}{2}$だから、方程式は$\displaystyle \underline{x^2+y^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}}$となる。

$(2)$ $xz$平面による断面を考える。三角形$OAQ$は円に内接し、$OA$は直径なので、$\overrightarrow{OQ}\perp \overrightarrow{AP}$が成り立つ。

$(3)$ $S(p, q, r)$であり、$\overrightarrow{OS}\cdot \overrightarrow{AS} = – |\overrightarrow{OS}|^2$であるから、$$\begin{eqnarray}(p, q, r)\cdot (p, q, r-1) & = & -(p^2+q^2+r^2)\\ \iff p^2+q^2+r^2-r & = & -(p^2+q^2+r^2)\\ \iff 2(p^2+q^2+r^2)-r & = & 0 \tag{a}\label{a} \end{eqnarray}$$となる。$P(x, y, 0)$とする。$\overrightarrow{OQ} = t\overrightarrow{OP} + (1-t)\overrightarrow{OA}$とすると、$Q (tx, ty, 1-t) $となる。$(2)$から$\overrightarrow{OQ}\perp \overrightarrow{AP}$であるから、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{OQ} & = & 0\\ \iff (x, y, -1)\cdot (tx, ty, 1-t) & = & 0\\ \iff t(x^2+y^2 + 1) & = & 1\end{eqnarray}$$から、$$t = \frac{1}{x^2+y^2+1} \tag{b}\label{b}$$となる。また、$\overrightarrow{OS}\cdot \overrightarrow{SQ} = 0$だから、$$\begin{eqnarray}(p, q, r)\cdot (tx-p, ty-q, 1-t-r)\\ \iff t(px+qy-r) -p^2-q^2-r^2+r & = & 0\ \tag{c}\label{c}\end{eqnarray}$$である。\eqref{c}に\eqref{a}, \eqref{b}を代入して、$$\frac{px+qy-r}{x^2+y^2+1} = -\frac{1}{2}r$$となる。$r\ne 0$に注意して変形・整理すると、$$\begin{eqnarray}\left(x+\frac{p}{r}\right)^2 + \left(y+\frac{q}{r}\right)^2 & = & 1 + \frac{p^2+q^2}{r^2}\\ & = & \frac{r}{2r^2} \\ & = & \frac{r}{2}\end{eqnarray}$$となる。よって、点$P$は$xy$平面上で中心$\displaystyle \left(-\frac{p}{r}, -\frac{q}{r}, 0\right)$で半径が$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2r}}$の円を描く。