[math][東京医科歯科大学][場合の数]2004年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

関数$g(x)$および$f_k(x)\ \ (k = 1, 2, 3, \cdots)$を次のように定義する。$$\begin{eqnarray}g(x) & = & \begin{cases}\displaystyle \frac{2}{3}x^3-\frac{5}{3}x\ \ (|x|\leq 2)\\ x \ \ (|x| > 2)\\ \end{cases}\\ f_k(x) & = & g(x-k)+k \end{eqnarray}$$正の定数$k, l$に対し、整数の組を要素とする集合$S_k$および$T_{k, l}$を次のように定義する。$$\begin{eqnarray}S_k & = & \{(m, n) | m, n \text{は整数、}m\ne n, f_{k}(m) = n\}\\ T_{k, l} & = & \{(m, n) | m, n \text{は整数}, m\ne n, f_{l}(f_{k}(m)) = n\}\end{eqnarray}$$このとき以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $S_k = \{(k-1, k+1), (k+1, k-1)\}$となることを示せ。
$(2)$ $T_{3, 4}$を求めよ。
$(3)$ $T_{3, k}\ne S_{3}\cup S_k$を満たす整数$k$を求めよ。
$(4)$ $T_{3, k}\ne T_{k, 3}$を満たす整数$k$を求めよ。

方針

至極簡単な問題と感じた受験生と、とてつもない難問に感じた受験生に分かれるかもしれない。実験が大切で、具体的に紙に例を書いていけば少しずつ問題の構成が見えてくる。

解答

$(1)$ $|m-k| > 2$のとき、$$\begin{eqnarray}f_{k}(m) & = & g(m-k) + k\\ & = & (m-k) + k \\ & = & m\end{eqnarray}$$となるから、集合$S_k$の条件$m\ne n$から$|m-k|\leq 2$しかありえない。$m, k$は整数であるから、$m-k = -2, -1, 0, 1, 2$のいずれかである。下の表から、\begin{array}{|c|*4{c|}}\hline m-k & g(m-k) & f_k(m) & m \\ \hline -2 & -2 & -2+k & -2+k \\ -1 & 1 & 1+k & -1+k\\ 0 & 0 & k & k \\ 1 & -1 & -1+k & 1+k \\ 2 & 2 & 2+k & 2+k\\ \hline \end{array}条件$m\ne n$を満たすのは$(m, n) = (k-1, k+1), (k+1, k-1)$であることがわかる。以上より題意が示される。
$(2)$ $(1)$から$f_k(m)$は$k-1$と$k+1$を入れ替えることがわかる。したがって、$f_3(m)$は$2$と$4$を、$f_4(m)$は$3$と$5$を入れ替える。より厳密にいうと、$f_k(m)$は$a_1, a_2, \cdots, a_{k-1}. a_k, a_{k+1}, \cdots$という整数の並びがあるとき、これを$a_1, a_2, \cdots, a_{k+1}, a_k, a_{k-1}$という並びに変換する。$$\begin{eqnarray}1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots, \\ \downarrow \ (f_3\text{による変換}) \\ 1, \underline{4}, 3, \underline{2}, 5, 6, \cdots \\ \downarrow\ (f_4\text{による変換})\\ 1, 4, \underline{5}, 2, \underline{3}, 5, \cdots \end{eqnarray}$$であるから、$\underline{T_{3, 4} = (2, 4), (3, 5), (4, 2), (5, 3)}$である。

$(3)$ まず、$S_3\cup S_k = \{(2, 4), (4, 2), (k-1, k+1), (k+1, k-1)\}$である。$$\begin{eqnarray}1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots \\ \downarrow (f_3\text{による変換})\\ 1, \underline{4}, 3, \underline{2}, 5, 6, \cdots\end{eqnarray}$$によって$2, 4$が入れ替わる。したがって、$k-1 = 2$か$k-1 = 4$か、あるいは$k+1 = 2$か$k+1 = 4$のときに限り、$T_{3, k} \ne S_3\cup S_k$となることがわかる。よって、$\underline{k = 1, 3, 5}$である。

$(4)$ $(3)$から$k = 1, 3, 5$の可能性しかない。
$\ \ (i)$ $k = 1$のとき、$$\begin{eqnarray}0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots \\ \downarrow (f_3\text{による変換})\\ 0, 1, \underline{4}, 3, \underline{2}, 5, 6, \cdots \\ \downarrow (f_1\text{による変換})\\ \underline{4}, 1, \underline{0}, 3, 2, 5, 6, \cdots\end{eqnarray}$$および$$\begin{eqnarray}0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots, \\\downarrow (f_1\text{による変換})\\ \underline{2}, 1, \underline{0}, 3, 4, 5, 6, \cdots \\ \downarrow (f_3\text{による変換})\\ 2, 1, \underline{4}, 3, \underline{0}, 5, 6, \cdots\end{eqnarray}$$であるから、$T_{3, 1}\ne T_{1, 3}$である。
$\ \ (ii)$ $k = 3$のとき、$$\begin{eqnarray}0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots \\ \downarrow (f_3\text{による変換})\\ 0, 1, \underline{4}, 3, \underline{2}, 5, 6, \cdots \\ \downarrow (f_3\text{による変換})\\ 0, 1, \underline{2}, 3, \underline{4}, 5, 6, \cdots\end{eqnarray}$$および$$\begin{eqnarray}0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots, \\ \downarrow (f_3\text{による変換})\\ 0, 1, \underline{4}, 3, \underline{2}, 5, 6, \cdots \\ \downarrow (f_3\text{による変換})\\ 0, 1, \underline{2}, 3, \underline{4}, 5, 6, \cdots\end{eqnarray}$$であるから、$T_{3, 1} = T_{1, 3}$である。
$\ \ (iii)$ $k = 5$のとき、$$\begin{eqnarray}0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots \\ \downarrow (f_3\text{による変換})\\ 0, 1, \underline{4}, 3, \underline{2}, 5, 6, \cdots \\ \downarrow (f_5\text{による変換})\\ 0, 1, 4, 3, \underline{6}, 5, \underline{2}, \cdots\end{eqnarray}$$および$$\begin{eqnarray}0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots, \\\downarrow (f_5\text{による変換})\\ 0, 1, 2, 3, \underline{6}, 5, \underline{4}, \cdots \\ \downarrow (f_3\text{による変換})\\ 0, 1, \underline{6}, 3, \underline{2}, 5, 4, \cdots\end{eqnarray}$$であるから、$T_{3, 5} \ne T_{5, 3}$である。

以上から、求める答えは$\underline{k = 1, 5}$である。

解説

$(1)$ まず問題の意味を掴むという流れで、$|m-k| > 2$のときは$g(x)$の定義から$f_k(m) = m$となるので、これは集合$S_k$に含まれない。すると$|m-k|\leq 2$が必要となり、後は具体的に調べていけば良い。

$(2)$ $(1)$から結局$f_k(m)$は$a_1, a_2, \cdots, \underline{a_{k-1}}, a_k, \underline{a_{k+1}}, \cdots$という整数の並びを$a_1, a_2, \cdots, \underline{a_{k+1}}, a_k, \underline{a_{k-1}}, \cdots$に変換する操作であることがわかる。その中で元の数字と元の数字と異なるもののペアが集合$S_k$に含まれる。ここでは$a_{k-1}$が$a_{k+1}$に変わっているので$(a_{k-1}, a_{k+1})$が$S_k$に含まれ、また$a_{k+1}$が$a_{k-1}$に変わっているので$(a_{k+1}, a_{k-1})$も$S_k$に含まれる。$T_{k, l}$はこの操作をもう一度繰り返したものになる。

$(3)$ 問題の構造が把握できていれば、$k-1$か$k+1$が$2, 4$のどれかになるので、$T_{3, 4} = S_3\cup S_k$となることがわかる。したがって、$k = 1, 3, 5$となる。

$(4)$ $(3)$から$k = 1, 3, 5$しかないが、$k = 3$の場合は$T_{3, 3} = T_{3, 3 }$なので除いて考える。

この問題は大学で学ぶ群の互換性をテーマにしている。たとえば操作$f_3$を施してから次に$f_4$を施したとき、$f_4(f_3(m))\ne f_3(f_4(m))$となっている。操作の順番が問題になるというわけである。例eえばある整数に$3$を掛けてから$4$を掛けても、$4$を掛けてから$3$を掛けても結果は同じ数字になるが変換$f_k(m)$では順番が違うと結果が異なる。代数学の基礎の部分をテーマにした問題ということになる。