[math][東京医科歯科大学][複素数平面]2003年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

以下の各問いに答えよ。
$(1)$ 次の条件$(a), (b)$を同時に満たす複素数$z$をすべて求め、複素数平面上に図示せよ。ただし$\bar{z}$は$z$の共役複素数を表す。
$\ \ (a)$ $|z|\leq 1$
$\ \ (b)$ $z+\bar{z}$および$z\bar{z}$はともに整数
$(2)$ 次の条件$(c), (d)$を同時に満たす点$P(p, q)$をすべて求め、座標平面上に図示せよ。
$\ \ (c)$ $p, q$は整数。
$\ \ (d)$ $|z| > 1$を満たす任意の複素数$z$に対して$z^2-pz+q\ne 0$が成立する。

方針

複素数平面についての平易な出題である。

解答

$(1)$ $z = a+bi$と置くと、条件$(a)$から$$\sqrt{a^2+b^2}\leq 1$$であり、条件$(b)$から$$z+\bar{z} = 2a, z\bar{z} = a^2+b^2$$はともに整数である。したがって、$a^2+b^2 = 0, 1$である。$a^2+b^2 = 0$のときは$(a, b) = (0, 0 )$である。$a^2+b^2= 1$のときは、$-1\leq a\leq 1$であり、$2a$は整数だから、$2a = 0, \pm1, \pm 2$である。つまり、$\displaystyle a = 0, \pm\frac{1}{2}, \pm 1$である。これから$\displaystyle (a, b) = (0, \pm 1), \left(\pm\frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \left(\pm 1, 0\right)$である（複号任意）。図示すると以下の図のようになる。

$(2)$ 条件$(d)$については対偶を考える。すなわち、「$z^2-pz+q = 0$が成立するならば、$|z|\leq 1$である」を考える。以下、$f(x) = z^2-pz+q$と置く。
$\ \ (i)$ $f(z) = 0$が実数解を持つとき、その$2$つの解は$-1\leq z\leq 1$にあるので、次の条件が成り立つ。$$\begin{cases}\displaystyle -1\leq \frac{p}{2}\leq 1\\ p^2-4q \geq 0\\ f(1) \geq 0\\ f(-1)\geq 0\end{cases}$$すなわち、$$\begin{cases}-2\leq p\leq 2\\ \displaystyle q\leq \frac{p^2}{4}\\ q\geq p-1\\ q\geq -p-1\end{cases}$$である。条件$(c)$より、一番上の式から$p = -2, -1, 0, 1, 2$と絞り込みできる。すると、順に$$\begin{eqnarray}q\leq 1, q\geq -3, q\geq 1 \rightarrow q = 1\\ q\leq \frac{1}{2}, q\geq -2, q\geq 0\rightarrow q = 0\\ q\leq 0, q\geq -1, q\geq -1 \rightarrow q =-1, 0\\ q\leq \frac{1}{2}, q\geq 0, q\geq -2 \rightarrow q = 0\\ q\leq 1, q\geq 1, q\geq -3 \rightarrow q = 1\end{eqnarray}$$となる。よって、求める$p, q$の組は$(p, q) = (-2, 1), (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (1, 0), (2, 1)$である。
$\ \ (ii)$ $f(z) = 0$が虚数解を持つとき、解の係数の関係から、$$\begin{cases}z + \bar{z} = p\\ z\bar{z} = q\end{cases}$$はともに整数である。また、$|z|\leq 1$である。すると、$(1)$からそのような虚数$z$は$\displaystyle z = \pm i, \frac{\pm 1\pm \sqrt{3}}{2}$（複号任意）となる。このとき、$(p, q) = (0, 1), (1, 1), (-1, 1)$である。

以上から、$\underline{(p, q) = (-2, 1), (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (1, 0), (2, 1), (0, 1), (1, 1), (-1, 1)}$である。