[math][東京医科歯科大学][座標平面]1999年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

以下の各問いに答えよ。
$(1)$ 座標平面上の次の直線$l_1, l_2, l_3$が少なくとも$1$点を共有するような整数の組$(a, b)$をすべて求めよ。$$\begin{eqnarray}l_1: & & x + y = 1\\ l_2: & & ax+by = 3\\ l_3: & & a^2x+b^2y = 4\end{eqnarray}$$
$(2)$ 空間内の平面${\pi}_2, {\pi}_2, {\pi}_3$が少なくとも$2$点を共有するような整数の組$(a, b, c)$をすべて求めよ。$$\begin{eqnarray}{\pi}_1: & & x + y + z = 1\\ {\pi}_2: & & ax+by + cz = 2\\ {\pi}_3: & & a^2x+b^2y + c^2z = 5\end{eqnarray}$$

方針

連立方程式の基本は一文字消去である。正体の分かっている$l_1$や${\pi}_1$の方程式からまず一文字消去するのが良いだろう。

解答

$(1)$ $l_1$の方程式$x + y = 1$から$y = 1-x$として$l_2$の方程式に代入すると、$$\begin{eqnarray}ax + b(1-x) & = & 3\\ \iff (a-b)x & = & 3-b\end{eqnarray}$$となる。$a-b = 0$とすると$0 = 3-b$なので$a=b=3$となる。すると、$$\begin{eqnarray}l_1: & & x+y & = & 1 \\ l_2: & & 3(x + y) & = & 1\\ l_3: & & 9(x+y) & = & 4\end{eqnarray}$$となる。$l_1, l_2, l_3$はどれも互いに平行なので交点を持たない。したがって$a\ne b$であり、$l_1$と$l_2$の交点は$\displaystyle \left(\frac{3-b}{a-b}, \frac{a-3}{a-b}\right)$となる（$y = 1-x$から）。この交点が$l_3$も通るとき、$$\begin{eqnarray}a^2\cdot \frac{3-b}{a-b}+b^2\cdot \frac{a-3}{a-b} & = & 4\\ a^2(3-b)+b^2(a-3) & = & 4(a-b)\\ 3a^2-a^2b+ab^2-3b^2 & = & 4(a-b)\\ 3(a+b)(a-b)-ab(a-b) & = & 4(a-b)\\ 3(a+b)-ab & = & 4\ \ (a-b\ne 0)\\ ab-3(a+b)+4 & = & 0\\ (a-3)(b-3) & = & 5\end{eqnarray}$$となる。$a, b$は整数なので、$(a-3, b-3) = (1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$となる。よって、$\underline{(a, b) = (4, 8), (8, 4), (2, -2), (-2, 2)}$となる。

$(2)$ ${\pi}_1$の方程式から$z = 1-x-y$である。これを${\pi}_2, {\pi}_3$の方程式に代入して整理すると、$$\begin{eqnarray}{\pi}_2: & & (a-c)x+(b-c)y & = & 2-c\\ {\pi}_3: & & (a^2-c^2)x+(b^2-c^2)y & = & 5-c^2\end{eqnarray}$$となる。上の直線は順に${\pi}_2, {\pi}_2$の交わり、${\pi}_1, {\pi}_3$の交わりである。これらの直線を順に$m, n$とする。

$m, n$が交わらないとき（つまり、$m$と$n$が平行でしかも一致しないときか、ねじれの位置にあるとき）、${\pi}_1, {\pi}_2, {\pi}_3$は共有点を持たない。

$m$と$n$が交点を持てば、その交点は${\pi}_1, {\pi}_2, {\pi}_3$の共有点になるが、そういった共有点が少なくとも$2$つあるためには、$m$と$n$は一致しなければいけない。そのための条件を探そう。$c = 2$とすると、$$\begin{eqnarray}m: & & (a-2)x + (b-2)y = 0\\ n: & & (a^2-4)x+(b^2-4)y = 1\end{eqnarray}$$となって$m, n$は一致しない（前者は原点を通るが後者は通らない）。したがって$c-2\ne 0$である。また、$c$は整数であるから$5-c^2\ne 0$である。$m, n$の方程式を書き直すと、$$\begin{eqnarray}\frac{a-c}{2-c}x+\frac{b-c}{2-c}y & = & 1\\ \frac{a^2-c^2}{5-c^2}x+\frac{b^2-c^2}{5-c^2}y & = & 1\end{eqnarray} \tag{a}\label{a}$$である。この$2$直線が一致するのは、$$\begin{cases}\displaystyle \frac{a-c}{2-c} = \frac{a^2-c^2}{5-c^2}\\ \displaystyle \frac{b-c}{2-c} = \frac{b^2-c^2}{5-c^2} \end{cases}$$のときである。整理すると、$$\begin{cases}\displaystyle \frac{(a-c)(5-2a-2c+ac)}{(2-c)(5-c^2)} = 0\\ \displaystyle \frac{(b-c)(5-2b-2c+bc)}{(2-c)(5-c^2)} = 0\end{cases} \tag{b}\label{b}$$である。
$\ \ (a)$ $a-c = 0$とすると、\eqref{a}から$$\begin{eqnarray}m: (b-c)y & = & 2-c\\ n: (b^2-c^2)y & = & 5-c^2\end{eqnarray}$$となる。$b-c = 0$とすると$0=2-c=5-c^2$となり矛盾で、また$b+c = 0$とすると$0 = 5-c^2$となるので矛盾。したがって$m, n$の方程式は$$\begin{eqnarray}m: y = \frac{2-c}{b-c}\\ n: y = \frac{5-c^2}{b^2-c^2}\end{eqnarray}$$となる。これが一致するから、$$\begin{eqnarray}\frac{2-c}{b-c} & = & \frac{5-c^2}{b^2-c^2}\\ (2-c)(b+c) & = & 5-c^2\\ bc-2b-2c+5 & = & 0\\ (b-2)(c-2) & = & -1\end{eqnarray}$$である。したがって、$(b-2, c-2) = (1, -1), (-1, 1)$となる。よって、$(b, c) = (3, 1), (1, 3)$である。以上から、$\underline{(a, b, c) = (1, 3, 1), (3, 1, 3)}$である。
$\ \ (b)$ $b-c = 0$とすると、\eqref{a}から$$\begin{eqnarray}m: (a-c)x & = & 2-c\\ n: (a^2-c^2)x & = & 5-c^2\end{eqnarray}$$となる。$a-c = 0$とすると$0 = 2-c = 5-c^2$となり矛盾で、また$a+c = 0$とすると、$0 = 5-c^2$となるので矛盾。したがって$m, n$の方程式は$$\begin{eqnarray}m: x &= & \frac{2-c}{a-c}\\ n: x & = & \frac{5-c^2}{a^2-c^2}\end{eqnarray}$$となる。これが一致するから、$$\begin{eqnarray}\frac{2-c}{a-c} & = & \frac{5-c^2}{a^2-c^2}\\ (2-c)(a+c) & = & 5-c^2\\ ac-2a-2c+5 & = & 0\\ (a-2)(c-2) & = & -1\end{eqnarray}$$である。したがって、$(a-2, c-2) = (1, -1), (-1, 1)$となる。よって、$(a, c) = (3, 1), (1, 3)$である。以上から、$\underline{(a, b, c) = (3, 1, 1), (1, 3, 3)}$となる。
$\ \ (c)$ $a-c\ne 0$かつ$b-c\ne 0$とすると、\eqref{b}から$$\begin{cases}5-2a-2c+ac & = & 0\\ 5-2b-2c+bc & = & 0\end{cases}$$である。変形して、$$\begin{cases}(a-2)(c-2) & = & -1\\ (b-2)(c-2) & = & -1\end{cases}$$である。上の式から$(a, c) = (3, 1), (1, 3)$となり、下の式から$(b, c) = (3, 1), (1, 3)$となるが、両者を併せて$\underline{(a, b, c) = (3, 3, 1), (1, 1, 3)}$となる。

以上から、求める答えは$\underline{(a, b, c) = (1, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 1, 1), (1, 3, 3), (3, 3, 1), (1, 1, 3)}$となる。

解説

$(1)$ とりあえず$l_1$を$l_2$の方程式に代入すると場合分けが生じる。この問題の場合、こういった場合分けを回避するのは難しいだろう。平面なので$l_1, l_2$の交点を$l_3$も通れば条件は達成される。

$(2)$ $(1)$よりも複雑だが、議論を見失わないように慎重に進めたい。${\pi}_1$と${\pi}_2$の交わる直線を$m$、${\pi}_2$と${\pi}_3$の交わる直線を$n$としたとき、$m, n$がどのような関係になるのかは様々な場合が考えられる。解答ではそれを一つ一つ追い求めている。最初から$a, b, c$が整数であるという条件を活用した方が良い。