問題
\(n\)枚の\(100\)円玉と\(n+1\)枚の\(500\)円玉を同時に投げたとき、表の出た\(100\)円玉の枚数より表の出た\(500\)円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。
方針
\(1\)枚余分なので、その余分な\(1\)枚を固定して考える。
解答
\(500\)円玉を\(1\)枚除外して考える。残りの\(100\)円玉と\(500\)円玉の枚数は等しい。以下の\(3\)つのシチュエーションが考えられる。
- \((1)\) \(100\)円玉の表の枚数が、\(500\)円玉の表の枚数よりも多い。この確率を\(p\)とする。
- \((2)\) \(100\)円玉の表の枚数が、\(500\)円玉の表の枚数よりも少ない。この確率は、対称性から\(p\)となる。
- \((3)\) \(500\)円玉と\(100\)円玉の表の枚数が等しい。\((1),\ (2)\)から、この確率は\(1-2p\)となる。
\((1)\)の時は、除外した\(500\)円玉が表でも裏でも、表が出ている\(100\)円玉の数よりは多くならない。
\((2)\)の時は、除外した\(500\)円玉が表でも裏でも、表が出ている\(100\)円玉の数より多くなる。
\((3)\)の時は、除外した\(500\)円玉が表であれば、表が出ている\(100\)円玉の数よりも多くなる。求める確率は、$$1 \cdot p + \frac{1}{2}\cdot (1-2p) = \frac{1}{2}$$となる。答えは、
\(\frac{1}{2}\)
である。
解説
ほとんど計算せずにきれいに解けるが、はじめからこう解けると思っていないと難しい。正直にやるには、コンビネーションの和を考えることになるが、計算はなかなか厳しい。
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