[math][東京医科歯科大学][微分]1994年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

$x y$ 平面上で次の直線 $l$ と曲線 $C$ を考える。 $\begin{array}{rcl} l & : & y = a x + b \\ C & : & y = b \log x + a b \end{array}$ ただし $a > 0, b > 0$ とする。 $l$ が $C$ の接線であるとき次の問いに答えよ。
$(1)$ $b$ を $a$ を用いて表わせ。
$(2)$ 直線 $l$ と曲線 $C$ および $x$ 軸とによって囲まれる図形の面積 $S$ を最大にするような $a$ の値を求めよ。
$(3)$ $a$ を $0 < a \leq 2$ の範囲で変化させるとき、 $l$ と $C$ の接点の軌跡の概形を $x y$ 平面上に図示せよ。

方針

標準的な内容の問題であるが、計算はやや面倒である。

解答

$(1)$ $l$ と $C$ の方程式を微分するとそれぞれ ${\begin{cases} l : y^{'} = a \\ C : y^{'} = \frac{b}{x} \end{cases}$ となるので、接点の $x$ 座標を $t$ と置くと、 ${\begin{cases} a t + b & = & b \log t + a b \\ a & = & \frac{b}{t} \end{cases}$ である。下の式から $t = \frac{b}{a} (a > 0)$ であるから、これを上の式に代入して、 $\begin{array}{rcl} a \cdot \frac{b}{a} + b & = & b \log (\frac{b}{a}) + a b \\ ⟺ 2 b & = & b \log (\frac{b}{a}) + a b \end{array}$ である。両辺を $b (> 0)$ で割って、 $\begin{array}{rcl} 2 & = & \log (\frac{b}{a}) + a \\ \frac{b}{a} & = & 2^{2 - a} \end{array}$ である。よって、 $\underset{―}{b = a e^{2 - a}}$ である。

$(2)$ $l : y = a x + b = 0$ となるのは $x = - \frac{b}{a}$ のときで、また $C : y = b \log x + a b = 0$ となるのは $x = e^{- a}$ のときであるから、下のグラフの斜線部が求める面積である。 $t = \frac{b}{a}$ に注意して、

$\begin{array}{rcl} S & = & \frac{1}{2} \times (t - (- \frac{b}{a})) \times (a t + b) - \int_{t}^{e^{- a}} (b \log x + a b) d x \\ = & \frac{2 b^{2}}{a} - b \int_{t}^{e^{- a}} \log x d x - a b (t - e^{- a}) \\ = & \frac{2 b^{2}}{a} - b [x (\log x - 1)]_{e^{- a}}^{t} - b^{2} + a b e^{- a} \\ = & \frac{2 b^{2}}{a} - b (\frac{b}{a} (\log (\frac{b}{a}) - 1)) + b (e^{- a}) (- a - 1) - b^{2} + a b e^{- a} \\ = & \frac{3 b^{2}}{a} - \frac{b^{2}}{a} \log (\frac{b}{a}) - b^{2} - b e^{- a} \end{array}$ である。 $(1)$ の途中経過から $\log (\frac{b}{a}) = 2 - a$ であるから、代入して、 $\begin{array}{rcl} S & = & \frac{3 b^{2}}{a} - \frac{b^{2}}{a} (2 - a) - b^{2} - b e^{- a} \\ = & \frac{b^{2}}{a} - b e^{- a} \end{array}$ となる。 $(1)$ から $b = a e^{2 - a}$ であるから、さらに代入して、 $\begin{array}{rcl} S & = & \frac{a^{2} e^{4 - 2 a}}{a} - a e^{2 - 2 a} \\ = & e^{2} (e^{2} - 1) a e^{- 2 a} \end{array}$ である。 $f (a) = a e^{- 2 a} (a > 0)$ とすると、 $\begin{array}{rcl} f^{'} (a) & = & e^{- 2 a} + (- 2) a e^{- 2 a} \\ = & e^{- 2 a} (1 - 2 a) \end{array}$ である。したがって、 $a < \frac{1}{2}$ において $f^{'} (a) > 0$ であり、 $a = \frac{1}{2}$ において $f^{'} (a) = 0$ であり、また $a > \frac{1}{2}$ において $f^{'} (a) < 0$ であるから、 $\underset{―}{a = \frac{1}{2}}$ において $S$ は最大値をとる。

$(3)$ 接点の座標は $\begin{array}{rcl} (t, a t + b) & = & (\frac{b}{a}, 2 b) \\ = & (e^{2 - a}, 2 a e^{2 - a}) \end{array}$ である。この座標を $(X, Y)$ とすると、 ${\begin{cases} X & = & e^{2 - a} \\ Y & = & 2 a e^{2 - a} \end{cases}$ である。 $0 < a \leq 2$ から $1 \leq X < e^{2}$ である、 $X = e^{2 - a}$ から $a = 2 - \log x$ を $Y$ の式に代入して、 $Y = 2 (2 - \log X) X$ である。したがって、 $Y^{'} = - 2 (\log X - 1)$ となるので、 $Y$ の増減表は以下のようになる。 $\begin{array}{cc} X & 1 & e & e^{2} \\ Y^{'} & + & 0 & - \\ Y & 4 & ↗ & 2 e & ↘ & 0 \end{array}$ また、 $Y^{''} = - \frac{2}{X}$ であるから、接点の軌跡は以下の図のようになる。