[math][東京医科歯科大学][整数]1990年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

次の各問いに答えよ。なお自然数$n$に対し$1$および$n$自身も$n$の約数であることに注意せよ。
$(1)$ $n = 3^p5^q$ （$p, q$は自然数）のとき、$n$の約数の個数を$p, q$を用いて表わせ。
$(2)$ 次の$3$条件をみたす自然数$n$を$5$個求めよ。
$\ \ \ (a)$ $n$は$12$で割りきれる。
$\ \ \ (b)$ $n$は$5$以上の素数では割りきれない。
$\ \ \ (c)$ $n$の約数は$\displaystyle \frac{n}{12}$個以上ある。
$(3)$ $(2)$ の$3$条件をみたす自然数$n$のうち最大なものを求めよ。

方針

$(3)$ しっかりと解答の流れの記述をした方がよい。

解答

$(1)$ $n$の約数はすべて$3^k5^l\ \ (0\leq k\leq p, 0\leq l\leq q)$の形に表されるが、$k$は$0\sim p$の$p+1$通り、$l$は$0\sim q$の$q+1$通りをとるから、$n = 3^p5^q$の約数の個数は$\underline{(p+1)(q+1)}$個である。

$(2)$ 条件$(a), (b)$から$n = 12\cdot 2^a3^b = 2^{a+2}\times 3^{b+1}$とおける。ただし、$a, b$は$0$以上の整数である。$n = 2^{a+1}\times 3^{b+1}$の形をした整数は小さい順に$\underline{12, 24, 36, 48, 72}$であるが、これらの約数の個数はそれぞれ順番に$6, 8, 9, 10, 12$個である。つまり、どれも条件$(c)$を満たす。

$(3)$ $n = 2^{a+2}\times 3^{b+1}$の約数の個数は、$(1)$から$(a+3)(b+2)$個であるから、条件$(c)$から$(a+3)(b+2)\geq 2^a\times 3^{b}$である。これを変形すると、$$\frac{a+3}{2^a}\geq \frac{3^b}{b+2} \tag{a}\label{a}$$である。負でない整数$a, b$に対して、\eqref{a}の左辺を$f(a)$、右辺を$g(b)$とする。$$f(0) = 3, f(1) = 2, f(2) = \frac{5}{4}, f(3) = \frac{3}{4}, \cdots$$であり、$$g(0) = \frac{1}{2}, g(1) = 1, g(2) = \frac{9}{4}, g(3) = \frac{27}{5}, \cdots$$である。式を見ると、$f(a)$は減少関数で、$g(b)$は増加関数であることが予想されるので、これを示す。$$\begin{eqnarray}\frac{f(a)}{f(a+1)} & = & \frac{3+a}{2^a}\cdot \frac{2^{a+1}}{4+a}\\ & = & \frac{2(3+a)}{4+a}\end{eqnarray}$$であるが、どんな負でない整数$a$に対しても、$$\frac{2(3+a)}{4+a} > 1$$、すなわち$2+a > 0$が成り立つから、$f(a) > f(a+1)$である。よって、$f(a)$は減少関数である。同様に、$$\begin{eqnarray}\frac{g(b+1)}{g(b)} & = & \frac{3^{b+1}}{3+b}\cdot \frac{2+b}{3^{b}}\\ & = & \frac{3(2+b)}{3+b}\end{eqnarray}$$であるが、どんな負でない整数$b$に対しても、$$\frac{3(b+2)}{b+3} > 1$$、すなわち$2b+3 > 0$が成り立つから、$g(b+1) > g(b)$である。よって、$g(b)$は増加関数である。すると、$b\geq 3$のときは常に$g(b) > f(0) = 3\geq f(a)$となるから、上の$f(a)$と$g(b)$の値も参考にすると、$f(a)\geq g(b)$となるのは、$a = 0$のときは$b = 0, 1, 2$、$a = 1$のときは$b = 0, 1$、$a = 2$のときは$b = 0, 1$、$a = 3$のときは$b = 0$である。このうち、$n$が最大になるのは、下の表も参考にして、$(a, b) = (2, 1)$のときで、その値は$\underline{144}$となる。\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline a & b & 2^{a+2} & 3^{b+1} & n\\ \hline 0 & 0 & 4 & 3 & 12 \\ \hline 0 & 1 & 4 & 9 & 36 \\ \hline 0 & 2 & 4 & 27 & 108\\ \hline 1 & 0 & 8 & 3 & 24 \\ \hline 1 & 1 & 8 & 9 & 72 \\ \hline 2 & 0 & 16 & 3 & 48 \\ \hline 2 & 1 & 16 & 9 & 144 \\ \hline 3 & 0 & 32 & 9 & 96\\ \hline \end{array}

解説

$(1)$ これは確実に取らなければならない。結果だけでも良いが、自分の力で説明できるようにしておく。

$(2)$ $12$の倍数を適当にあげていく。$(3)$の結果をみると、それほど多くの数は条件に適合しないことがわかる。

$(3)$ 答えだけなら誰でも出せるが、きちんと説明するのは意外と厄介。適当な記述だと大幅に差がつけられてしまいそうである。数列で$a_{n+1} > a_n$を示すときの定石は$$\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1\ \ (a_n > 0)$$を示すことである。色々な場面でこれは現れるので、抑えておくとよい。解答の$f(a)$や$g(b)$を実数の関数と見て微分してもよいが、やや大げさな気もする。どんな解き方をするにせよ、解答の最後の表のようなものを書く必要はあるだろう。