[math][東京医科歯科大学][一次変換][積分]1990年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

行列$\displaystyle A = \begin{pmatrix}a & 0\\ -\frac{1}{a} & b\end{pmatrix}\ \ (a > 0, b > 0)$の表す座標平面上の$1$次変換を$f$とし、曲線$C_1: y = x^2+x$と曲線$\displaystyle C_1: y = \frac{4x}{1+x^2}$を$f$で移してできる曲線をそれぞれ$L_1, L_2$とする。$C_1, C_2$とによって囲まれる図形の面積を$S$、$L_1, L_2$とによって囲まれる図形の面積を$T$とし、また$L_1$と$L_2$の原点以外の交点を$P$とする。
$(1)$ $L_1$と$L_2$の$a, b,$を含んだ方程式をそれぞれ求めよ。
$(2)$ 点$P$の座標を$a, b$を用いて表わせ。
$(3)$ $T$を$a, b$を用いて表わせ。
$(4)$ $S$と$T$が等しく、$L_1$と$L_2$の点$P$における接線が互いに直交するとき、$a, b$の値を求めよ。

方針

計算量はやや多いが、やることは単純である。

解答

$(1)$ 点$(x, y)$が一次変換$f$によって移動する点を$(X, Y)$とすると、$$\begin{pmatrix}X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 0 \\ -\frac{1}{a} & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$$となる。したがって、$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} & = & \frac{1}{ab}\begin{pmatrix}b & 0 \\ \frac{1}{a} & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}\\ & = & \frac{1}{ab}\begin{pmatrix}bX\\ \frac{X}{a}+aY\end{pmatrix}\end{eqnarray}$$となる。これを$C_1$の方程式に代入して、$$\frac{1}{ab}\left(\frac{X}{a}+aY\right) = \frac{X^2}{a^2}+\frac{X}{a}$$となる。整理して、$$L_1: Y = \frac{b}{a^2}X^2+\frac{1}{a}\left(b-\frac{1}{a}\right)X$$となる。同様に$C_2$の方程式に$X, Y$を代入して、$$\frac{1}{ab}\left(\frac{X}{a}+aY\right) = \frac{4aX}{a^2+X^2}$$となる。整理して、$$L_2: Y = \frac{4abX}{a^2+X^2}-\frac{X}{a^2}$$となる。式を$(X, Y)$から$(x, y)$に戻して、答えは$\displaystyle \underline{L_1: y = \frac{b}{a^2}x^2+\frac{1}{a}\left(b-\frac{1}{a}\right), L_2: y = \frac{4abx}{a^2+x^2}-\frac{x}{a^2}}$となる。

$(2)$ $C_1$と$C_2$の方程式を連立させて、$$\begin{eqnarray}x^2+x & = & \frac{4x}{1+x^2}\\ x+1 & = & \frac{4}{1+x^2}\ \ (x\ne 0)\\ (x+1)(x^2+1) & = & 4\\ x^3+x^2+x-3 & = & 0\\ (x-1)(x^2+2x+3) & = & 0\\ (x-1)((x+1)^2+2)\end{eqnarray}$$となる。したがって、$x = 1$である。これを$C_1$の方程式に代入して、$y = 2$となるから、$C_1$と$C_2$の交点は$(1, 2)$である。この点を一次変換$f$によって変換すると、$$\begin{pmatrix}a & 0 \\ -\frac{1}{a} & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\ -\frac{1}{a}+2b\end{pmatrix}$$となる。よって、点$P$の座標は$\displaystyle \underline{\left(a, -\frac{1}{a}+2b\right)}$となる。

$(3)$ $C_1$と$C_2$によって囲まれる部分の面積は、下の図から$$\begin{eqnarray}\int_{0}^{1}{\left(\frac{4x}{1+x^2}-(x^2+x)\right)dx} & = & \left[2\ln{(1+x^2)}-frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\\ & = & 2\ln{2}-\frac{5}{6}\end{eqnarray}$$となる。行列$A$の行列式は$ab$で、これは正であるから、求める$T$の値は$\displaystyle \underline{T = ab\left(2\ln{2}-\frac{5}{6}\right)}$となる。

$(4)$ $S = T$だから、$(3)$から$ab = 1$がわかる。$(1)$で求めた$L_1, L_2$の方程式を$x$で微分すると、$$\begin{eqnarray}L_1 : y^{\prime} & = & \frac{2b}{a^2}x+\frac{1}{x}\left(b-\frac{1}{a}\right)\\ L_2 : y^{\prime} & = & \frac{4ab((a^2+x^2)-x\cdot 2x)}{(a^2+x^2)^2}-\frac{1}{a^2}\\ & = & \frac{4ab(a^2-x^2)}{(a^2+x^2)^2}-\frac{1}{a^2}\end{eqnarray}$$となる。この式で、点$P$の$x$座標の値を代入して、点$P$における$L_1$と$L_2$の傾きが$$\begin{eqnarray}L_1 & : & \frac{3b}{a}-\frac{1}{a^2}\\ L_2 & : & -\frac{1}{a^2}\end{eqnarray}$$とわかる。直交条件から、$$\begin{eqnarray}\left(\frac{3b}{a}-\frac{1}{a^2}\right)\cdot -\frac{1}{a^2} & = & -1\\ \frac{3b}{a}-\frac{1}{a^2} & = & a^2\\ \frac{3}{a^2}-\frac{1}{a^2} & = & a^2\ \ (ab = 1)\end{eqnarray}$$となる。整理すると、$a^4 = 2$となるが、$a > 0$から$\underline{a = \sqrt[4]{2}}$となる。$ab = 1$から、$\underline{b = \sqrt[-4]{2}}$である。

解説

$(1)$ 文字数が多くて多少ごちゃごちゃするが、やっていることは単なる計算である。$$\begin{pmatrix}X\\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 0 \\ -\frac{1}{a} & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$$として、$X = \cdots, Y = \cdots$の式をそのまま$C_1, C_2$の方程式に代入しないように気をつける。

$(2)$ $(1)$で求めた$L_1, L_2$の方程式を連立させても良い。

$(3)$ 一般に、正方行列$A$で表される一次変換$f$によって、図形$P$が図形$Q$に移ったとすると、図形の面積は$A$の行列式を$detA$として、$|detA|$倍される。ただし、$|detA|$は$detA$の絶対値である。教科書にも掲載されているし、試験で断りなく用いても構わない。$(1)$で求めた$L_1, L_2$の方程式から面積を出しても良いが、時間の無駄だろう。

$(4)$ 最後のおまけの計算問題になる。