[math][東京工業大学][積分]2019年東京工業大学数学問題2

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問題

次の等式が$1\leq x\leq 2$で成り立つような関数$f(x)$と定数$A, B$を求めよ。$$\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}{|\log{y}|f(xy)dy} = 3x(\log{x}-1)+A+\frac{B}{x}$$ただし、$f(x)$は$1\leq x\leq 2$に対して定義される連続関数とする。

方針

このままでは積分できないので、置き換える。

解答

$xy = t$とすると、$$\begin{eqnarray}\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}{|\log{y}|f(xy)dy} & = & \int_{1}^{2}{\left|\log{\frac{t}{x}}\right|f(t)\frac{dt}{x}}\\ & = & \frac{1}{x}\left(\int_{1}^{x}{-\left(\log{\frac{t}{x}}\right)f(t)dt}+\int_{x}^{2}{\left(\log{\frac{t}{x}}\right)f(t)dt}\right)\\ & = & \frac{1}{x}\left(-\int_{1}^{x}{(\log{t})f(t)dt}+\log{x}\int_{1}^{x}{f(t)dt}+\int_{x}^{2}{(\log{t})f(t)dt}-\log{x}\int_{x}^{2}{f(t)dt}\right)\\ & = & \frac{1}{x}\left(-\int_{1}^{x}{(\log{t})f(t)dt}+\log{x}\int_{1}^{x}{f(t)dt}-\int_{2}^{x}{(\log{t})f(t)dt}+\log{x}\int_{2}^{x}{f(t)dt}\right)\end{eqnarray}$$となる。したがって、与えられた問題は$$\begin{eqnarray}-\int_{1}^{x}{(\log{t})f(t)dt}+\log{x}\int_{1}^{x}{f(t)dt}-\int_{2}^{x}{(\log{t})f(t)dt}+\log{x}\int_{2}^{x}{f(t)dt} \\ = 3x^2(\log{x}-1)+Ax+B\end{eqnarray} \tag{a}\label{a}$$が成り立つような$f(x), A, B$を求めることと同値である。\eqref{a}を$x$で微分して、$$-2(\log{x})f(x)+\frac{1}{x}\left(\int_{1}^{x}{f(t)dt}+\int_{2}^{x}{f(t)dt}\right)+\log{x}(f(x)+f(x))\\ 6x(\log{x}-1)+3x^2\cdot \frac{1}{x}+A$$となる。整理すると、$$\begin{eqnarray}\int_{1}^{x}{f(t)dt}+\int_{2}^{x}{f(t)dt} & = & 6x^2(\log{x}-1)+3x^2+Ax \\ & = & 3x^2(2\log{x}-1)+ Ax\tag{b}\label{b}\end{eqnarray}$$となる。\eqref{b}で$x = 1, 2$として、$$\begin{cases}\displaystyle \int_{2}^{1}{f(t)dt} & = & -3+A \tag{c}\label{c}\\ \displaystyle \int_{1}^{2}{f(t)dt} & = & 12(2\log{2}-1)+2A\end{cases}$$である。両辺をそれぞれ足すと、$$0 = 24\log{2}-15+3A$$となる。よって、$\underline{A = 5-8\log{2}}$である。\eqref{b}を$x$で微分して、$$2f(x) = 6x(2\log{x}-1)+3x^2\cdot \frac{2}{x}+A$$である。よって、$\displaystyle \underline{f(x) = 6x\log{x}+\frac{5}{2}-4\log{2}}$である。次に、\eqref{a}で$x = 1, 2$として、$$\begin{cases}\displaystyle -\int_{2}^{1}{(\log{t})f(t)dt} & = & -3+A+B\\ \displaystyle -\int_{1}^{2}{(\log{t})f(f)dt}+\log{2}\int_{1}^{2}{f(t)dt} & = & 12(\log{2}-1)+2A+B\end{cases}$$である。両辺をそれぞれ足して、$$\log{2}\int_{1}^{2}{f(t)dt} = -3+A+B+12(\log{2}-1)+2A+B$$である。\eqref{c}から$$-\int_{1}^{2}{f(t)dt} = -3+A$$であるから、$$\begin{eqnarray}\log{2}(3-A) & = & 12(\log{2}-1)+3A+2B-3\\ \iff B & = & \frac{15}{2}-\frac{9}{2}\log{2}-\frac{3}{2}A-\frac{A}{2}\log{2}\\ & = & \underline{\log{2}(4\log{2}+5)}\end{eqnarray}$$となる。