[math][東京工業大学][積分]2019年東京工業大学数学問題2

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問題

次の等式が $1 \leq x \leq 2$ で成り立つような関数 $f (x)$ と定数 $A, B$ を求めよ。 $\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} | \log y | f (x y) d y = 3 x (\log x - 1) + A + \frac{B}{x}$ ただし、 $f (x)$ は $1 \leq x \leq 2$ に対して定義される連続関数とする。

方針

このままでは積分できないので、置き換える。

解答

$x y = t$ とすると、 $\begin{array}{rcl} \int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}} | \log y | f (x y) d y & = & \int_{1}^{2} | \log \frac{t}{x} | f (t) \frac{d t}{x} \\ = & \frac{1}{x} (\int_{1}^{x} - (\log \frac{t}{x}) f (t) d t + \int_{x}^{2} (\log \frac{t}{x}) f (t) d t) \\ = & \frac{1}{x} (- \int_{1}^{x} (\log t) f (t) d t + \log x \int_{1}^{x} f (t) d t + \int_{x}^{2} (\log t) f (t) d t - \log x \int_{x}^{2} f (t) d t) \\ = & \frac{1}{x} (- \int_{1}^{x} (\log t) f (t) d t + \log x \int_{1}^{x} f (t) d t - \int_{2}^{x} (\log t) f (t) d t + \log x \int_{2}^{x} f (t) d t) \end{array}$ となる。したがって、与えられた問題は $\begin{matrix} (a) & \begin{array}{r} - \int_{1}^{x} (\log t) f (t) d t + \log x \int_{1}^{x} f (t) d t - \int_{2}^{x} (\log t) f (t) d t + \log x \int_{2}^{x} f (t) d t \\ = 3 x^{2} (\log x - 1) + A x + B \end{array} \end{matrix}$ が成り立つような $f (x), A, B$ を求めることと同値である。 $(a)$ を $x$ で微分して、 $- 2 (\log x) f (x) + \frac{1}{x} (\int_{1}^{x} f (t) d t + \int_{2}^{x} f (t) d t) + \log x (f (x) + f (x)) 6 x (\log x - 1) + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} + A$ となる。整理すると、 $\begin{array}{rcl} \int_{1}^{x} f (t) d t + \int_{2}^{x} f (t) d t & = & 6 x^{2} (\log x - 1) + 3 x^{2} + A x \\ (b) & = & 3 x^{2} (2 \log x - 1) + A x \end{array}$ となる。 $(b)$ で $x = 1, 2$ として、 $\begin{matrix} (c) & {\begin{cases} \int_{2}^{1} f (t) d t & = & - 3 + A \\ \int_{1}^{2} f (t) d t & = & 12 (2 \log 2 - 1) + 2 A \end{cases} \end{matrix}$ である。両辺をそれぞれ足すと、 $0 = 24 \log 2 - 15 + 3 A$ となる。よって、 $\underset{―}{A = 5 - 8 \log 2}$ である。 $(b)$ を $x$ で微分して、 $2 f (x) = 6 x (2 \log x - 1) + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{x} + A$ である。よって、 $\underset{―}{f (x) = 6 x \log x + \frac{5}{2} - 4 \log 2}$ である。次に、 $(a)$ で $x = 1, 2$ として、 ${\begin{cases} - \int_{2}^{1} (\log t) f (t) d t & = & - 3 + A + B \\ - \int_{1}^{2} (\log t) f (f) d t + \log 2 \int_{1}^{2} f (t) d t & = & 12 (\log 2 - 1) + 2 A + B \end{cases}$ である。両辺をそれぞれ足して、 $\log 2 \int_{1}^{2} f (t) d t = - 3 + A + B + 12 (\log 2 - 1) + 2 A + B$ である。 $(c)$ から $- \int_{1}^{2} f (t) d t = - 3 + A$ であるから、 $\begin{array}{rcl} \log 2 (3 - A) & = & 12 (\log 2 - 1) + 3 A + 2 B - 3 \\ ⟺ B & = & \frac{15}{2} - \frac{9}{2} \log 2 - \frac{3}{2} A - \frac{A}{2} \log 2 \\ = & \underset{―}{\log 2 (4 \log 2 + 5)} \end{array}$ となる。