[math][東京工業大学][数列][極限]2019年東京工業大学数学問題5

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2023.01.03

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問題

$\displaystyle a = \frac{2^8}{3^4}$として、数列$$b_k = \frac{(k+1)^{k+1}}{a^k k!}\ \ (k = 1, 2, 3, \cdots)$$を考える。
$(1)$ 関数$\displaystyle f(x) = (x+1)\log{\left(1+\frac{1}{x}\right)}$は$x > 0$で減少することを示せ。
$(2)$ 数列$\{b_k\}$の項の最大値$M$を既約分数で表し、$b_k = M$となる$k$をすべて求めよ。

方針

誘導に身を任せてみる。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}f(x) & = & (x+1)\log{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\\ & = & (x+1)\log\left(\frac{x+1}{x}\right)\\ & = & (x+1)\log{(x+1)}-(x+1)\log{x}\end{eqnarray}$$であるから、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & \log{(x+1)}+(x+1)\cdot \frac{1}{x+1}-\log{x}-(x+1)\cdot \frac{1}{x}\\ & = & \log{(x+1)}-\log{x}-\frac{1}{x}\\ & = & \log{\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\frac{1}{x}\end{eqnarray}$$である。一般に、正の数$t$に対して$\log{(1+t)}\leq t$であるから（等号は$t = 0$で成立）、$f^{\prime}(x) < 0$が分かる。つまり、$f(x)$が減少関数であることが分かる。

$(2)$ $$\begin{eqnarray}\frac{b_{k+1}}{b_k} & = & \frac{(k+2)^{k+2}}{a^{k+1}(k+1)!}\cdot \frac{a^k k!}{(k+1)^{k+1}}\\ & = & \frac{k+2}{a(k+1)}\cdot \left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\\ & = & \frac{1}{a}\cdot \left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+2}\end{eqnarray}$$である。これを$c_k$と置く。$(1)$から$\displaystyle f(x) = \log{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}}$は減少関数であるから、$\displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}$も減少関数である。したがって、$c_k$は減少数列である。$$\begin{eqnarray}c_1 & = & \frac{3^4}{2^8}\cdot \left(1+\frac{1}{2}\right)^3\\ & = & \frac{3^7}{2^{11}}\\ & = & \frac{2187}{2048}\\ & > & 1\\ c_2 & = & \frac{3^4}{2^8}\cdot \left(1+\frac{1}{3}\right)^4\\ & = & 1\\ c_3 & = & \frac{3^4}{2^8}\cdot \left(1+\frac{1}{4}\right)^5\\ & = & \frac{3^45^5}{2^{18}}\\ & = & \frac{253125}{262144}\\ & < & 1\end{eqnarray}$$であるから、$$\begin{eqnarray}\frac{b_2}{b_1} & > & 1\\ \frac{b_3}{b_2} & = & 1\\ \frac{b_4}{b_3} & < & 1\end{eqnarray}$$であり、$k\geq 3$のときは$c_k < 1$であるから$b_3 > b_4 > \cdots$となる。$$\begin{eqnarray}b_2 & = & \frac{(2+1)^{2+1}}{a^22!}\\ & = & \frac{3^3\cdot 3^8}{2^{16}\cdot 2}\\ & = & \frac{177147}{131072}\end{eqnarray}$$であるから、$b_k$の最大値$M$は$\displaystyle \underline{\frac{177147}{131072}}$で、$b_k = M$となる$k$は$\underline{k = 2, 3}$である。